(一)1.4.1正弦函数、余弦函数的图像

1.4.1正弦、余弦函数的图象教学目标1、了解利用正弦线画出正弦函数的图象。2、掌握正弦函数、余弦函数图象及其它们间的变换关系。3、掌握用五点法作正弦函数和余弦函数的图象。教学重点：用五点法作正弦函数和余弦函数的图象。教学难点：平移单位圆中正弦线作正弦函数y=sinx,x∈[0，2π]的图象。P（x，y）OxyMsinα=MPcosα=OM1.在单位圆中，角α的正弦线、余弦线分别是什么？复习提问注意：三角函数线是有向线段！2.任意给定一个实数x，都有唯一确定的正弦(或余弦)值与之对应，为什么？∵实数集与角的集合之间可建立一一对应关系.又∵一个确定的角对应唯一确定的正弦(或余弦)值.∴任意给定一个实数x，有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应我们把由这个对应法则所确定的函数y=sinx叫做正弦函数y=cosx叫做余弦函数问：这两个函数的定义域是什么？3.我们知道，任意给定一个实数x，有唯一确定的值sinx(或cosx)与之对应.定义域都是R4.遇到一个新函数，它总具有许多基本性质，要直观、全面了解基本特性，我们应从哪个方面入手？自然是从它的图象入手，画出它的图象，观察图象的形状，看看它有什么特殊点，并借助它的图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最值等.我们今天就学习知识探究（一）：正弦函数y=sinx的图象思考1：作函数图象最原始的方法是什么？思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在[0，2π]内的图象，可取哪些点？等值来列表取让2,611,35,23,34,67,,65,32,2,3,6,0xxsinx26113523346765322360答：列表、描点、连线用列表法作图时，在列表的过程中让x取0，等值，其对应的函数值有的只能取近似值如sin,不方便描点；再加之描点时的误差，所以画出的图象误差大.如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点，并画出y=sinx在[0，2π]内的图象？下面介绍一种新画法即几何画法，在学新画法之前学一点预备知识.2,32,2,3,63问题3.用单位圆中正弦线表示正弦的方法,如何作出点？O1OyXAPM62（1）作直角坐标系，并y轴左侧画单位圆；（2）把单位圆分成12等分得到角，作出它的正弦线MP；（3）找横坐标：把x轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等分.在x轴上找横坐标的点；（4）找纵坐标：将角的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上点重合；（5）这条正弦线的终点即为所求作.6666练习:用单位圆中正弦线表示正弦的方法作出点)3sin3(，O1OyxA62MP)3sin,3(仿上作点的方法，下面来作出y=sinx,x∈[0,2π]的图象问题4：在直角坐标系中，如何用正弦线比较精确地画出y=sinxx∈[0，2π]内的图象？y=sinxx[0,2]O1Oyx33234352-11用光滑曲线将这些正弦线的终点连结起来得到y=sinxx∈[0，2π]图象AB（1）作直角坐标系，并在y轴左侧画单位圆；（2）把单位圆分成12等分（等分越多，画出的图像越精确），可分别在单位圆中作出对应于0,等角的正弦函数线。（3）找横坐标：把x轴上从0到2π(2π≈6.28)这一段分成12等分。（4）找纵坐标：将角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合；（5）连线：用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，即得到函数y=sinx,x∈[0,2]的图像。2,,,,236∵终边相同角的三角函数值相等∴函数y=sin(x+2k)x[2k,2(k+1))(kZ且k≠0)的图象与函数y=sinxx[0,2)图象的形状完全一致.于是我们只要将函数y=sinxx[0,2)图象向左、向右平行移动(每次2个单位长度)就可以得到y=sinxxR的图象.x6yo--12345-2-3-41yxo1-122322y=sinxx[0,2]y=sinxxR正弦曲线yxo1-122322问题5：我们在作正弦函数y=sinxx∈[0,2π]的图象时，描出了12个点，但其中起关键作用的点是哪些？分别说出它们的坐标。(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)五个关键点—(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)(0,0)(,1)2(,0)(,-1)23(2,0)xsinx22302010-10五点画图法x6yo--12345-2-3-41正弦、余弦函数的图象余弦函数的图象正弦函数的图象x6yo--12345-2-3-41y=cosx=sin(x+),xR2余弦曲线(0,1)(,0)2(,-1)(,0)23(2,1)正弦曲线形状完全一样只是位置不同方法2：用余弦线作余弦函数的图象---1--oxy---111o3232656734233561126余弦函数2,0,cosxxy的图象---1--oxy---1121oA32326567342335611261P1M/1py像作二次函数图象那样为了快速用描点法作出正弦曲线与余弦曲线。下面我们通过观察函数图象寻找图象上起关键作用的点：图象的最高点)1,(2图象的最低点)1(,23图象与x轴的交点)0,0()0,()0,2(图象与x轴的交点)0,(2)0,(23图象的最高点)1,0()1,2(图象的最低点)1,(2,0,sinxxy2,0,cosxxy15正弦函数.余弦函数的图象和性质l1M1Q2M(1)等分作法：(2)作余弦线(3)竖立、平移(4)连线2Qyx---1--oxy---1121oA32326567342335611261P1M/1pyoxy---11---1--1o32326567342335611261.4.1正弦函数.余弦函数的图象与x轴的交点)0,0()0,()0,2(图象的最高点图象的最低点)1,(23与x轴的交点)0,(2)0,(23图象的最高点)1,0()1,2(图象的最低点)1,(2oxy---11--13232656734233561126-oxy---11--13232656734233561126)1,2(简图作法(1)列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)(3)连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)(2)描点(定出五个关键点)关键五点(五点作图法)〖例1〗画出函数y=1+sinx，x[0,2]的简图xsinx1+sinx22302010-1012101o1yx22322-12y=sinx，x[0,2]y=1+sinx，x[0,2]步骤：1.列表2.描点3.连线解：按五个关键点列表并将它们用光滑的曲线连接起来描点你能否从函数图象变换的角度出发，利用函数y=sinxx[0,2]的图象来得到y=1+sinx，x[0,2]的图象？〖例2〗画出函数y=-cosx，x[0,2]的简图.xcosx-cosx2230210-101-1010-1yxo1-122322y=-cosx，x[0,2]y=cosx，x[0,2]从函数图象变换的角度出发，你能利用函数y=cosxx[0,2]的图象得到y=-cosx，x[0,2]的图象？)2,32()3,0(.,,21)2,0(cos集由图象写得不等式的解再找出交点的坐标的图象与直线分析：先画yxxy2112y=)21,3(〖例3〗根据余弦函数图象写出使不等式cosx＞x∈[0，2π]成立的x的取值集合xyO2ππ122-1)21,32(332xsinx2230210-101练习1：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数y=sinx，x[0,2]和y=cosx，x[,]的简图：223o1yx22322-12y=sinx，x[0,2]y=cosx，x[,]223向左平移个单位长度2xcosx100-1022302归纳与整理1.正弦曲线、余弦曲线几何画法五点法(画简图)2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系yxo1-122322y=sinx，x[0,2]y=cosx，x[0,2]其中五点法最常用，要牢记五个关键点的坐标。正弦曲线凸凹连;+1、-1是界限；连绵不断波浪线；五点作图记心间；左右平移得余弦；图像特点同正弦。预知性质是那般；待到下节继续研。2oxy---11--13232656734233561126-oxy---11--13232656734233561126作业1、P34练习T22、画出下列函数的简图（1）y=1-sinx,x∈[0,2π]（2）y=3cosx+1，x∈[0,2π]并简单说说所画简图分别与函数y=sinxx∈[0,2π]、y=cosxx∈[0,2π]的图象有什么关系？课堂教学设计说明这节课的教学设计可概括为：1．复习相关知识．（1）以前学过的函数；（2）图象变换知识；（3）诱导公式．2．新课．（1）正弦函数图象（代数描点法、几何描点法）；（2）余弦函数图象（代数描点法、几何描点法、平移交换法）．3.重点突出“五点法”．223xy11-----02-描点法:查三角函数表得三角函数值,描点,连线.)sin,(xx查表8660.0sin3y如:3x描点)8660.0,(3几何法：作三角函数线得三角函数值，描点)sin,(xx,连线作如:3x3的正弦线,MP平移定点),(MPxPM31Oxy几何法作图的关键是如何利用单位圆中角x的正弦线，巧妙地移动到直角坐标系内，从而确定对应的点(x,sinx).描点法与几何法作正弦函数的图象的原理分析：(1)列表(2)描点(3)连线632326567342335611202123012123212300212312,0,sinxxy用描点法作出函数图象的主要步骤：---223xy0211---xy