多边形讲义

多边形知识点一：多边形及其有关概念(1)多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．多边形按组成它的线段的条数分为三角形、四边形、五边形、六边形、……由n条线段组成的多边形就叫做n边形．如图，是一个五边形，可表示为五边形ABCDE.三角形是最简单，边数最少的多边形.(2)多边形的边：组成多边形的线段叫做多边形的边．(3)多边形的内角、外角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，也称为多边形的角；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图，∠B，∠C，∠D，…是五边形的内角，∠1是五边形的外角．(4)多边形的对角线：①定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．如图，AC，AD就是五边形ABCDE中的两条对角线．②拓展理解：一个n边形从一个顶点可以引(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形．一个n边形一共有n(n－3)2条对角线．(5)凸多边形和凹多边形：①在图(1)中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；②在图(2)中，画出DC(或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧，我们称这个四边形为凹四边形，像这样的多边形称为凹多边形．【例1】填空：(1)十边形有________个顶点，________个内角，________个外角，从一个顶点出发可画________条对角线，它共有________条对角线．(2)从多边形一个顶点出发画对角线将它分成了四个三角形，这个多边形是________边形．变式1：过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是()．A．8B．9C．10D．11变式3：一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和．知识点二：正多边形(1)定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．如等边三角形、正方形等．(2)特点：不仅边都相等，角也都相等，两个条件必须同时具备才是正多边形．如长方形四个角都是直角，都相等，但边不等，所以不是正多边形．注：正多边形外角的特征因为边数相同的正多边形各个内角都相等，同顶点的内角与外角互为邻补角，所以边数相同的正多边形的各个外角也相等．【例2】下列说法正确的个数有()．(1)由四条线段首尾顺次相接组成的图形是四边形；(2)各边都相等的多边形是正多边形；(3)各角都相等的多边形一定是正多边形；(4)正多边形的各个外角都相等．知识点三：多边形的内角和(1)公式：n边形内角和等于(n－2)×180°.(2)探究过程：如图，以五边形、六边形为例．①从五边形的一个顶点出发，可以画2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，五边形的内角和等于180°×3＝540°；②从六边形的一个顶点出发，可以画3条对角线，它们将六边形分成4个三角形，六边形的内角和等于180°×4＝720°；③从n边形的一个顶点出发，可以画(n－3)条对角线，它们将n边形分成(n－2)个三角形，n边形的内角和等于180°×(n－2)．所以多边形内角和等于(n－2)×180°.(3)应用：①运用多边形内角和公式可以求出任何边数的多边形的内角和；②由多边形内角和公式可知，边数相同的多边形内角和也相等，因此已知多边形内角和也能求出边数．【例3】选择：(1)十边形的内角和为()．A．1260°B．1440°C．1620°D．1800°(2)一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有()．A．6条B．7条C．8条D．9条（3）多边形的每一个内角都是150°，则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是()．A．7B．8C．9D．10变式1：若一个四边形的四个内角度数的比为3∶4∶5∶6，则这个四边形的四个内角的度数分别为__________．变式2：一个多边形的内角和等于1440°，则它的边数为__________．变式3：一个多边形的内角和不可能是()．A．1800°B．540°C．720°D．810°知识点四：多边形的外角和(1)公式：多边形的外角和等于360°.(2)探究过程：如图，以六边形为例．①外角和：在每个顶点处各取一个外角，即∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6，它们的和为外角和．②因为同顶点处的一个内角和外角互为邻补角，所以六边形内、外角和等于180°×6＝1080°，所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝1080°－180°×(6－2)＝360°.③n边形外角和＝n×180°－(n－2)×180°＝360°.(3)拓展理解：①多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360°，与边数无关．②多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和．【例4】填空：(1)一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是__________度，外角和是__________度；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________，外角和增加__________．变式1：如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB＝__________.变式2：如图，在四边形ABCD中，∠1，∠2分别是∠BCD和∠BAD的邻补角，且∠B＋∠ADC＝140°，则∠1＋∠2等于()．A．140°B．40°C．260°D．不能确定变式3：在多边形的内角中，锐角的个数不能多于()A．2个B．3个C．4个D．5个知识点五：正多边形知识的应用正多边形是特殊的多边形，它特殊在每一个内角、外角、每一条边都相等，所以在正多边形中，只要知道一个角的度数，就能知道所有角的度数，包括每一个外角的度数．知道一边的长度，就能知道每一边的长度．因此它的应用主要包括两个方面：(1)已知内角(或外角)能求边数、内角和；已知边数能求每一个外角(或内角)的度数及内角和，即在内角和、边数、内角度数、外角度数四个量中知道一个量就能求出其他三个量．(2)因为正多边形每一条边都相等，所以知道周长能求边长，知道边长能求周长(因较简单所以考查较少)．【例5】若八边形的每个内角都相等，则其每个内角的度数是__________．变式1：一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是__________，它的内角和是__________．变式2：一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的边数．知识点六：将多边形截去一个角问题的探讨在多边形问题中，有一类问题是将多边形截去一个角后，探讨多边形边数变化和内角和变化的问题．在这类问题中，因截法不同，会出现不同的变化，现以四边形为例加以说明．如图所示，将正方形的桌面截去一个角，那么余下的多边形的内角和度数将怎样变化？因截法有三种情况，所以内角和也就有三种情况：(1)当是图①所示情况时，不过任何一个顶点，四边形变为五边形，边数增加1，所以内角和为540°.(2)当是图②所示情况时，过一个顶点，四边形边数不变，所以内角和也不变，为360°.(3)当是图③所示情况时，过两个顶点，四边形变为三角形，边数减少1，所以内角和也变为180°.【例6】一个多边形截去一个角后，变为十六边形，则原来的多边形的边数为()．A．15或17B．16或17C．16或18D．15或16或17变式1：一个多边形截去一个角(截线不过顶点)之后，所形成的一个多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是()．A．13B．15C．17D．19变式2：如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是2880°，那么原来的多边形的边数是()．A．10B．9C．8D．7知识点七：多边形内角和少算或多算一个角类型题目探索因为多边形的边数只能是整数，由多边形内角和公式(n－2)×180°可知，n－2是正整数，所以多边形的内角和必定是180°的整数倍，因此：①当所给内角和是多计算一个角的情况时，用所给内角和除以180°，因为多加的角大于0°小于180°，所以得到的余数部分就是多加角的度数，得到的整数部分加2就是边数；②当所给内角和是少计算一个角的情况时，因为少加了角，所以得到的整数部分加2比实际的角个数少1，所以用所给内角和除以180°，整数部分加3才是边数，180°减余数部分就是少加的角的度数．破疑点多边形内角和与边数的关系内角和除以180°所得到的整数并不是边数(或角的个数)n，而是n－2的值，所以得到的整数加2才是边数，这是易错点，要注意．【例7】一个多边形除了一个内角之外，其余内角之和为2670°，求这个多边形的边数和少加的内角的大小．变式：若多边形所有内角与它的一个外角的和为600°，求这个多边形的边数及内角和．知识点八：平面镶嵌1.用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行________，彼此之间不留空隙、不_______地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌.2.取一些形状、大小相同的多边形也可以作平面镶嵌，此时要求以其中一个顶点处的各个内角之和为__________.例8：（2009年广州市）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）（A）正十边形（B）正八边形（C）正六边形（D）正五边形注：只用同一种正多边形能够进行密铺的，只有三种正多边形，即正三角形、正方形、正六边形．变式1：如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指钝角）是___度．变式2：（1）如果用三种正多边形地砖镶嵌地面，一个顶点处已有一个正方形和一个正六边形地砖，则还需一个正__________边形地砖．（2）用正三角形与正方形两种图案作平面镶嵌，设在一个顶点周围有a个正三角形和b个正方形，则a＝__________，b＝__________．【随堂检测】1．若多边形的边数由3增加到n(n是正整数，且大于3)，则其外角和的度数()(A)增加(B)减少(C)不变(D)不确定2．一个多边形共有5条对角线，这个多边形内角和等于()(A)360°(B)540°(C)720°(D)900°3.已知一个多边形的内角和与外角和的比为9:2，则它的边数是_____．4．一个凸n边形除了一个内角外，其余各内角之和是2570°，则这个内角等于()A．90°B．15°C．120°D．130°5．不能够铺满地面的正多边形的组合是（）Ａ．正三角形与正方形Ｂ．正五边形与正十边形Ｃ．正六边形与正三角形Ｄ．正六边形与正八边形6、一个多边形的每一个内角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为m:n,其中m,n是互质的正整数,求这个多边形的边数(用m,n表示)及n的值.【课后强化练习】一、选择题1.一个多边形的每个内角都等于120°，这个多边形的边数为（）条A.5B.6C.7D.82.用正四边形一种图形进行平面镶嵌时，它在一个顶点周围的正四边形的个数为（）A.2个B.3个C.4个D.5个3.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1260°，那么它的一个外角为（）A.30°B.36°C.40°D.45°4.多边形的内角和不可能是（）A.810°B.540°C.1800°D.180°5.如果多边形的边数增加1，则多边形的内角和、外角和分别（）A.增加180°，增加180°B.不变，增加180°C.不变，不变D.增加180°，不变6.能够铺满地面的正多边形组合是（）A.正八边形和正方形B.正五边形和正十边形C.正四边形和正六边形D.正四边形和正七边形*7.在n边形一边上取一点与各顶点相连，可得三角形的个数为（）A.n个B.（n－2）个C.（n－1）个D.（n＋1）个*8.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形，这个多边形的边数为（）条A.9B.10C.11D.12二、填空题9.在正六边形ABCDEF中，∠A＝120°，AB＝2cm，则∠D＝__________，DE＝__________．10.一个正多边形的每个外角都是72°，则这个多边形是__________边形．11.n（n为整数，且n≥3）边形的内角和比（