您好,欢迎访问三七文档
有关交通的数学模型问题背景:某市某中学的学生到以天桥下的十字路口,希望通过对十字路口红绿灯开设时间及车流量的调查,来研究一下有关交通的数学模型.学生分组观察的到的数据取平均后得到如下一组数:东西方向绿灯即南北方向红灯的时间为49秒;南北方向绿灯即东西方向红灯的时间是39秒,所以红路灯变换的时间是88秒.在红路灯变换的一个周期内相应的车流量:东西方向平均为30量,南北方向平均为24量.问题:那么,在红绿灯变换的一个周期时间T内,从东西方向到达十字路口的车辆数为H,从南北方向到达十字路口的车辆数为V,问如何确定十字路口某个方向红灯与绿灯点亮的时间更合理?分析:所谓合理,就是从整理上看,在红绿灯变换的一个周期内,车辆在此路口的滞留总时间最少.同时做如下假设:1.黄灯时间忽略不计;只考虑机动车,不考虑人流量及非机动车辆;只考虑东西南北方向,不考虑拐弯的情况.2.车流量均匀.3.一个周期内,东西向绿灯,南北向红灯时间相等;东西向与南北向周期相同.建立模型:设东西方向绿灯时间(即南北方向红灯时间)为t秒,则东西方向红灯时间(即南北方向绿灯时间)为(T-t)秒.设下一个周期内车辆在此路口的滞留总时间为y秒.根据假设,一个周期内车辆在此路口的滞留总时间y分成两部分,一部分是南北方向车辆在此路口的滞留时间1y,另一部分是东西方向车辆在此路口的滞留时间2y.下面计算南北方向车辆在此路口的滞留时间1y.在一个周期中,从南北方向到达路口的车辆数为V,该周期中南北方向亮红灯的比率是t/T,需停车等待的车辆数是V*t/T.这些车辆等待时间最短为0(刚停下,红灯就转换为绿灯),最长为t(到达路口时,绿灯刚转换为红灯),由假设2“车流量均匀”可知,它们的平均等待时间是t/2,由此可知,南北方向车辆在此路口滞留时间为2122VttVytTT同理,东西方向车辆在此路口滞留的时间为22()2HyTtT所以,212()22VHyyytTtTT模型求解:函数2()22VHytTtTT是关于t的二次函数,容易求得当t=THHV时,y取得最小值.数值模拟:取问题背景中调查的数据,即T=88,H=30,V=24,则2222222430(88)(88)288227882788()(15)()(15)158888278827yttt当min883048.88895873024ty时,秒.由此可见我们计算所得到的结果和同学们实际所观察的数据比较接近的,这也说明此路口红灯和绿灯设置的时间比较合理.思考1:上面这个模型涉及的变量只有一个(车流量),若再将停车后汽车延迟发动达到正常车速所用的时间考虑在内,又该如何求解呢?2:根据学校附近十字路口的交通情况,运用所学的数学知识,制定合适的变量及函数,建立相应的函数模型,分析交通状况。
本文标题:有关交通的数学模型
链接地址:https://www.777doc.com/doc-1862413 .html