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主讲:张文俊深圳大学数学与计算科学学院张文俊TheBeautyofMathematics数学之美分形动画数学之美E-mail:zwj@szu.edu.cn10.方圆合一,自然规律——、、e的联手正态曲线描述了自然与社会中的大量现象。比如,自然生长的各种动植物的高度、重量、体积的分布;人类的身高、体重、血压……以至一些非数量性的指标如智力、心理素质等;210.方圆合一,自然规律——、、e的联手凭直觉截取某一计划长度的绳子时实际截取结果的分布等。210.方圆合一,自然规律——、、e的联手在高考中,不能根据原始分数判定学习质量。必须找到一个不变的测量参照点和一个对同批考生参加所有的考试都保持等值的测量单位。标准分可以解决这个问题。采用标准分的依据就是,考试分数呈正态分布状态。210.方圆合一,自然规律——、、e的联手按照标准分:考分介于400和600之间的人占68.26%;考分超过800和抵于200的人总共占0.27%,其中超过800的人占0.135%。2第三节五个重要常数自然对数的底e0,1与虚数单位i圆周率五个重要常数的关系InThisSection0,1与虚数单位i0,1与虚数单位i1.数字0(1)几何:坐标原点,正、负数的分界点;(2)代数:加法的零元;(3)丰富的含义:0°C,起点,0!=1,a0=1,0没有辐角,0没有对数0,1与虚数单位i2.数字1(1)整数单位,在加法下,一切自然数均由1生成;在乘法下,1是哑元。0,1与虚数单位i(2)“1”的各种表现10cos2sin44,1lglglg10lglog/1csc,1seccos,1sec1cscsin,1,1cossin0222222ctgtgabeaaaaxctgxxxxtgxxxctgxtgxxxbaa0,1与虚数单位i(3)关于“1”的猜想---谷角猜想一切自然数都可以借助“2”、“3”,经过加、减、乘、除回归为“1”。法则:偶数÷2奇数×3+1;循环进行。3.虚数单位i圆周率1问之源——圆的来历圆的来历:6000年前,在尼罗河三角洲1000公里处的美索不达米亚平原的人们,受圆月启发,发明了轮子。2问之源——什么是圆周率?圆周率——圆的周长与圆的直径之比;1737年瑞士数学家欧拉引入记号;1761年德国数学家Lambert证明是无理数;1882年德国数学家Lindman证明是超越数——即它不是任何整系数多项式的根。2问之源——什么是圆周率?圆周公式:C=2r圆面积公式:A=r2圆周率有何重要?2问之源——什么是圆周率?球体表面积公式:A=4r2球体体积公式:V=(4/3)r33求之法(1)实验、测量时间:公元前5世纪之前;地点:古代中国、古埃及、古巴比伦;数值:33求之法(2)“两面夹攻”(内接、外切正多边形)时间:公元前250年左右;地点:希腊;人物:Archimedes;数值:223/7122/7阿基米德(Archimedes,287B.C.212B.C.)3求之法(3)“割圆术”时间:3世纪中;地点:中国;人物:刘徽;数值:3.14124刘徽(生于公元250年左右),中国数学家,著有《九章算术注》和《海岛算经》.割圆术细解•先作一个半径为1的单位圆;•然后做内接正六边形•由此逐步算出2n×6內接正多边形的周长。(n=1,2,3,…)割圆术细解•刘徽认为:“割之越细,所失越少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣!”•刘徽一直计算到96边形的周长,得≈3.14124。3求之法(4)“缀术”时间:5世纪中期;地点:中国;人物:祖冲之;数值:准确到7位小数祖冲之(429—500)是我国南北朝时期著名数学家3求之法(5)代数表达式(16世纪末,35位小数)(6)微积分方法(18世纪以后:超过5亿位小数)。4表之道1592年,法国数学家韦达利用半角公式给出了的如下无穷乘积表达:2222222222222224表之道1655年,英国数学家瓦里斯在以极小长方形近似计算1/4圆面积时利用二项式定理给出的如下无穷乘积表达:1110910987876565434321224表之道1658年,布龙科尔给出了4/的如下连分数表达....2812492252921144表之道1674年,德国数学家莱布尼茨利用反正切级数给出了的如下无穷级数表达:...91715131112)1(40nnn...876165414321434表之道牛顿的表达式:75327164253125142312312121634表之道欧拉的表达:.........481312119450...4131211945...413121190...4131211688866664444222224表之道1706年,英国数学家梅钦建立了11114tantan452391e3表之道222sin11dxedxxxdxxx1734年,Euler给出5捉之术(1)概率方法:投针问题:蒲丰(ComtedeBuffon,17071788)法国博物学家在1777年刊行的《或然算术》一书中,提出投针问题5捉之术在一张白纸上画上间距为2的许多平行线,将长度为1的小针一枚一枚地从高处随意投到纸上。5捉之术设投针次数为n,针与平行线的相交次数为k(n),则)(nkn5捉之术为什么?a.小针碰线次数与针的长度成正比,与针是否弯曲以及弯曲的方式无关;b.直径等于平行线宽度的圆周每投一次都要与平行线有两个交点。5捉之术1901年,意大利数学家拉茨瑞尼进行了3408次投针,由此给出圆周率的近似值3.1415929.5捉之术(2)数论方法:1904年,R.查特根据数论中的结论指出:随意写两个自然数,两数互质的概率为6079271.0626算之路远古:中国、埃及测量,周三径一(《周髀算经》)公元前2000年:巴比伦,3,公元前5世纪:希腊,3.14166算之路公元前250年左右:希腊,(Archimedes)“两面夹攻”(内接、外切正多边形),得到3.14084507042≈223/7122/7≈3.1428571428…6算之路公元1世纪初:中国刘歆≈3.154公元1世纪末:中国张衡≈3.1466≈101/2≈3.1626算之路公元3世纪中:中国刘徽用割圆术算出≈3.14124公元5世纪中:中国祖冲之用“缀术”或刘徽的方法,准确到7位小数6算之路祖冲之算出7位小数,指出3.14259263.1415927355/113(祖率、密率)22/7(约率)密率:≈355/113=3.141592920356算之路再看看:将113355倒写再加1得553311+1=553312,中间断开相除得553/312≈1.772435897而...772453851.16算之路1596年:荷兰数学家Ludorf,15位---35位(在西方,圆周率又被称为是Ludorf常数)17世纪:72位18世纪:137位19世纪:527位6算之路1973年:法国数学家用计算机100万位1989年:日本金田康正536,870,000位7追之由从应用的角度来讲,只要有十几位就足够了。比如,在知道地球精确直径的情况下,要计算精确到1厘米的地球赤道周长,只要的9位小数即可。如果要计算以地球为心,以从地球到月亮距离为半径的圆周长,利用的18位小数,其误差不超过0.0001mm,这种精度实在是不必要的。7追之由但是,为什么人们希望把的值算得那么精细呢?又为什么的小数值有如此的魅力呢?7追之由(1)它可以检验超级计算机的硬件和软件的性能;(2)计算方法和思路可以引发新的概念和思想;(3)的数字展开真的没有一定的模式吗?它的样式含有无穷的变化吗?(4)的数字展开中某些数字出现的频率会比另一些高吗?是否它们并非完全随意?8记之方我国流传一个有趣的故事:山脚下一所小学的一个数学老师,每天都要爬上山顶的一座寺庙与和尚对饮。一天,上山前他布置学生背圆周率,要求每个学生必须背出22位小数,一个聪明的学生把老师上山喝酒的事编成一段顺口溜:“山颠一寺一壶酒,尔乐苦煞吾,把酒吃,酒杀尔,杀不死,乐尔乐。”按照汉语谐音,这段话就是:3.14159,26535,897,932,384,626,这恰好为的前22位小数的近似值。8记之方英语中也有人编出一句话来记忆的七位小数:“MayIhavealargecontainerofcoffee?”(我可以要一大杯咖啡吗?)这句话中各个单词所包含的字母数就是中各位数字的数值。9谈之趣(1)与音乐(日本教师)(2)利用取整记号,一切整数都可以通过为数不多的的运算来表达。121718/20)]([19自然对数的底e1.e——自然变化规律e就是大家熟悉的“自然对数的底”,称其为“自然”,实实在在地是因为它反映了万物生老病死的自然规律。2.e由何来?最大复利问题:假定银行活期存款年利率为100%,那么一元存款到年底可得本息和为2元;半年时将存款取出,再存入银行,年底本息和就是1.5+1.5×50%=(1.5)2=2.25元;按季度取出,再存入,年底本息和为(1.25)4≈2.44元;一年分期越多,年底得到的本息和也就越多。2.e由何来?如果一年分为n期计息,则每期利率为1/n,存款1元,年底本息和为(1+1/n)n元。(1+1/n)n随着n的增大而增大,但是决不会超过3,它的极限是一个超越无理数...71828.211limnnne3.e的表达一个美丽而友善的表达式...!1...!21!111ne4.e的奥秘以e为底的指数函数y=ex是一个具有重要地位和美妙性质的函数,它是一个超越函数,是增函数,而且其增长速度(导数)与其自身函数值相同,即其反函数——对数函数y=lnx,也是一个超越函数,但其导数则是有理函数。()'xxee1yx4.e的奥秘e不仅描述了银行利息的计算问题,它也反映了许多事物的发展规律,比如,人口增长问题,鱼类养殖与捕捞问题、电子、生物、经济、化学等各方面都包含的奥秘。4.e的奥秘素数分布规律:德国数学家高斯在15岁时发现素数的分布与e密切相关,如果记(n)为不超过n的素数的个数,则有1ln/)(limnnnn4.e的奥秘一个数若干等分,要使各部分乘积最大,应使每份尽量接近e。五个常数的关系五个重要常数的关系1.欧拉公式在欧拉公式中取ө=,得到五个重要常数的关系sincosiei01ie12.Shombert猜想Shombert猜想:的数字中必有e的前n位数字;同时e的数字中必有的前n位数字。3.R.G.Duggleby的发现渥太华大学生物化学家R.G.Duggleby发现654e(精确到4位小数)第四节黄金分割与斐波那契数列黄金数之数字美黄金分割之来历黄金数与斐波那契数列黄金数与自然之美InThisSection黄金数的应用黄金分割之来历1黄金分割—神赐的比例书本、扑克牌、窗户、照片、房间、桌面、五角星;雄伟的建筑,盛开的花朵,健美的形体、舒适的气温;舞台报幕,讲台演讲,动植物繁殖等。1黄金分割—神赐的比例方形:长:宽≈1.618;宽:长≈0.618气温:人体体温37:适宜气温23≈1.618;适宜气温23:人体气温37≈0.618黄金比,黄金数0.6181黄金分割—神赐的比例古希腊:最美、最巧妙16世
本文标题:数学欣赏2
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