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MathematicsAppreciation数学欣赏数学欣赏D数学之美数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation罗素说……数学,如果正确地看她,不但拥有真理,而且还具有至高的美。数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation数学之美简洁和谐数学美,就是数学问题的结论或解决过程适应人类的心理需要而产生的一种满足感。数、形及其关系反映万物共性、本质与规律,数学结论反映万物之和谐;模式与秩序是现实的抽象表现,数学结构显现纯洁与简洁;数学用简洁方式去描述复杂对象,用简单道理去解释深奥问题,方法具有简洁与神奇之美。数学方法以静识动,以直表曲,以反论正,尽显神奇之威;数学结论万变有常,万异存同,万象同根,皆表和谐之美.数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation此处无形胜有形——存在性问题的证明5数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation2019/11/306存在性问题存在性问题的两种证明方法:构造性证明;纯理性推理。前者具体构造出所述对象,自然是令人信服的;而后者只是从理论上推导出对象的存在性,虽看不到,但不可否认。奇异美、简洁美数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation抽屉原理把m个物体放到n个抽屉中,如果物体数比抽屉数多(即mn),那么,必然有至少一个抽屉里放入两个或两个以上的物体。抽屉原理之美数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation酒席不难觅知音在一桌酒席上,十来个本来不相识的人坐在一起,经过不太久的交流,马上会有人找到自己的“知音”,他们可能是校友、同行、同乡、同姓、同年龄、同属相或者是朋友的朋友、朋友的同乡、同乡的朋友等。数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation聚会朋友一样多在任何一种聚会中,一定有两个人,他们在场的朋友数是一样多的。数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation排中律是数学证明中经常使用的规则,它是传统逻辑的一种基本规律,意为任一事物在同一时间里具有某属性或不具有某属性,而没有其他可能。排中律之美数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation例求证:存在两个无理数a,b,使ab是有理数。考虑两个无理数2ab要么22bca是有理数,结论得证!要么22bca是无理数,则此时222222bdc是有理数,结论得证!数学文化从低级数学到高级数学——一览众山小数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation数学发展是一个新陈代谢、吐故纳新的过程;是一个新的有力的工具、更简单的方法的发现,与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程;是高级的数学替代低级的数学的过程。数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation从低级的“算术”到高级的“代数”,是由于“数字符号化”这个工具与方法的发现;从“初等代数”的解方程理论到“线性代数”乃至“抽象代数”的代数结构理论,是由于引进了“矩阵”、“行列式”乃至“群、环、域”的工具和方法。数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation由新工具、新方法而产生的“高级数学”,一方面可以解决许多低级数学不能解决的新问题,另一方面她对理解“低级数学”更容易、更清楚。比如鸡兔同笼问题;多元线性方程组的求解问题。数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation17世纪法国数学家笛卡儿建立的坐标几何具有划时代的科学意义,不仅使得数学的两大主角得到了统一,也为研究数学与其他科学提供了有效工具。数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation笛卡儿坐标系中的点可以用数对来表示,这种数对也就是平面向量。但是平面向量中只能进行加减运算和数乘运算,向量之间不能进行乘除运算。数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation19世纪,德国数学家高斯认识到复数是一种既有大小,又有方向的量,建立了复数与平面点的对应。于是,平面点(a,b)与复数z=a+bi建立了一一对应关系,从而建立了点(向量)与点之间的乘除运算关系,为解决许多平面向量问题、平面几何问题提供了极大的方便。数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation对称、有序、简洁、和谐等数学结论之美形式美内涵美结论自身的深刻性。比如揭示本质,建立联系,统一对象。。InthissectionSZU三角形之美圆形之美矩形之美自然对数的底方圆合一,自然规律分形之美数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation三角形是平面几何中最简单的直边封闭图形,许多平面图形乃至立体图形的计算和应用都可以归结为三角形来解决。数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation(1)三角形的稳定性三条腿的凳子永远可以放稳!为什么?三角形的框架永远不会变形!为什么?三点定一面一边两端点两边交一点三边三端点必然两相牵数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation三条边长一定,面积也就确定了!))()((cpbpappS边长确定面积!神了!数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation这些性质对于其它多边形是不成立的。(想一想:为什么?)比如:四条边长分别为a,b,c,d的四边形的面积是不确定的,但其最大面积为内接于圆的四边形的面积,其值为)dp)()()((cpbpapS数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation但这个面积最大!它们的四边长都是一样的!数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation(2)三角形的五心三角形有三条边和三个顶点,从三边和三顶点分别向对应的点和边引出同样性质的线段,它们都会分别相交于一点,这就是三角形的五心。数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation从三边中点分别向对应顶点引线,重心:三边中线相交于一点数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation从三边中点分别引垂线,外心:三边垂直平分线(中垂线)相交于一点数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation从三顶点分别向对应边引角平分线,内心:三角平分线(角分线)相交于一点数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation从三顶点分别向对应边引垂线,垂心:各角到三边的垂线(高线)相交于一点数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation旁心:任一内角平分线和其它两个外角平分线相交于一点.数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation这些都说明:当用同一种观点去看待三角形的三条边和三个角时,它们地位相同,关系和睦。做事要公平呀!数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation三角形的五心各有其实际意义,比如:外心是三角形外接圆的圆心;内心是三角形内切圆的圆心;旁心是三角形旁切圆的圆心;重心是三角形板(均匀密度)的质量中心.数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciationABCO外心是三角形外接圆的圆心。数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciationABCI内心是三角形内切圆的圆心。数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation旁心是三角形旁切圆的圆心。数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation重心是三角铁板的质量中心——六块面积与质量都一样!数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation三角形的五心也有其内在联系,比如:三角形的重心、外心、垂心三点共线(欧拉线)!数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciationABC重心、外心、垂心三点共线垂心重心外心欧拉线数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation三角形的五心还有其实际应用,比如:数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation外心离三座凉亭等距离数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation1.三角形内心离三条走道等距离数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation(3)三角形的边长关系任何形状的三角形,其任意两边长之和一定大于第三边。为什么?——两点之间以直线距离最短!这一结论构成美国三权分立中权力分配的理论基础。数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation设三角形的三边为a,b,c,他们的对角分别为A,B,C,则正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC余弦定理:a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2–2cacosBc2=a2+b2–2abcosC数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation(4)三角形的内角和任何三角形三内角之和都是180°(=)。数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation因此,在两个直角三角形中,若一个相应内(锐)角相等,则三角必对应相等,因而必是相似三角形,从而对应边之比就是相等的。边长相同必形同,角度相同只形似于是就有了只依赖于角度大小的三角函数。3数学欣赏MathematicsAppreciation数学欣赏MathematicsAppreciation推广:一般n边形的内角和:(n-2)。更一般和更本质的结果是:任何凸n边形的外角和都是360°
本文标题:数学欣赏-04数学之美-存在性问题的证明
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