2013年浙江省中考数学压轴题解析汇编

2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编【2013·浙江宁波·26题】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（-4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD。过P、D、B三点作⊙Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于点F，连结EF，BF。（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线段AB（不包括A，B两点）上时，①求证：∠BDE=∠ADP；②设DE=x，DF=y，请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由。解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+b，将点A（0，4）、B（4，0）代入得：440bkb解得14kb∴直线AB的函数解析式为y=-x+4（2）①∵B（4，0），C（-4，0）∴OB=OC=4∴OD是BC的垂直平分线∴∠BDE=∠CDE∵∠CDE=∠ADP(对顶角)∴∠BDE=∠ADP②连接EP。∵∠BDE=∠BAD+∠DBP∠ADP=∠DPE+∠DEP，且∠BDE=∠ADP∴∠BAD+∠DBP=∠DPE+∠DEP∵∠DBP=∠DEP∴∠DPE=∠BAD∵∠DPE=∠DFE∴∠DFE=∠BAD∵OA=OB∴∠BAD=∠OBA=45°∴∠DFE=45°∵DF是⊙Q的直径∴∠DEF=90°∴△DEF是等腰直角三角形∴DF=2DE，即y=2x（3）①当BD∶BF=2∶1时，如图①。过点F作FH⊥x轴于H，则∠BFH+∠FBH=90°∵DF是⊙Q的直径∴∠DBF=90°∴∠OBD+∠FBH=90°∴∠OBD=∠FBH∴Rt△BHF∽Rt△DOB∴12FHHBBFOBODBD∴FH=2，HB=12OD易证四边形OEFH是矩形∴OE=FH=2，EF=OH∵EF=DE=OE+OD=2+OD∴OH=2+OD∵OB=OH+HB=2+OD+12OD=2+32OD=4∴OD=43，即点D坐标为（0，43）由此可求得直线CD的解析式为y=13x+43联立直线AB解析式可求得，点P坐标为（2，2）②当BD∶BF=1∶2时，如图②。过点F作FH⊥x轴于H。与①同理可证Rt△BHF∽Rt△DOB则2FHHBBFOBODBD∴FH=8，HB=2OD连接EB。与(2)同理可证得DE=EF∵FH=OD+DE=OD+EF=OD+OH=OD+OB+HB=OD+OB+2OD=3OD+OB∴8=3OD+4，得OD=43，即点D坐标为（0，-43）由此可求得直线CD的解析式为y=-13x-43联立直线AB解析式可求得，点P坐标为（8，-4）综上，存在满足题述条件的Rt△BDF，点P坐标为（2，2）或（8，-4）APBCDEOFQyxH图①图②APBCDEOFQyxH2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编【2013·浙江绍兴·24题】抛物线y=(x-3)(x+1)与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点。（1）求点B及点D的坐标；（2）连接BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E。①若线段BD上一点P，使∠DCP=∠BDE，求点P的坐标；②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN=∠BDE，求点M的坐标。解：（1）由y=(x-3)(x+1)=0得，x=3或-1∵点A在点B左侧∴点B坐标为（3，0）∵y=(x-3)(x+1)=x2-2x-3=(x-1)2-4∴点D坐标为（1，-4）（2）①取点C关于直线DE的对称点H，连接CH交DE于F，连接DH，延长CP交DH于Q，过点Q作QK⊥DE于K。易证，△CDH是等腰直角三角形，且CD=2∵∠DCP=∠BDE∴Rt△DCQ∽Rt△EDB∴DQCDEBDE由EB=2，DE=4得DQ=22易证，△KDQ是等腰直角三角形∴KD=KQ=12∴点Q坐标为（32，72）则直线CQ的解析式为y=133x易得，直线BD的解析式为y=2x-6联立两式解得，点P坐标为（97，247）②当点M在对称轴左侧时，∠CMN=∠BDE＜45°，则∠MCN＞45°，而对于抛物线左侧任意一点R，都有∠RCN＜45°，故点M不在对称轴左侧，而在右侧。(i)当MN⊥CD，且点N在线段CD上时，延长MN交y轴于H，过点M作MF⊥y轴于F。∵∠CMN=∠BDE∴Rt△CMN∽Rt△BDE∴CNMNEBDE，即MN=2CN连接BC，易证BC⊥CD，∠OCB=45°∴△CNH、△MFH是等腰直角三角形设CN=m，则MN=2m，HN=m，HM=3m∴FM=FH=322m，CH=2m∴OF=OC+CH-FH=3-22m∴点M坐标为（322m，22m-3）代入抛物线解析式，解得m=729或0(舍去)∴点M坐标为（73，209）(ii)当MN⊥CD，且点N在DC的延长线上时，连接MN交y轴于H，过点M作MF⊥y轴于F。与(i)同理可得，点M坐标为（22m，322m-3）代入抛物线解析式，解得m=52或0(舍去)∴点M坐标为（5，12）故，点M坐标为（5，12）或（73，209）AOCDEByxNMFHNAOCDEByxPQFHKMFH2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编【2013·浙江温州·24题】如图，在平面直角坐标系轴，直线AB与x轴、y轴分别交于点A（6，0）、B（0，8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上一动点，连接CD、DE，以CD、DE为边作平行四边形CDEF。（1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；（2）当m=3时，是否存在点D，使平行四边形CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得平行四边形CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值。解：（1）∵CE⊥AB∴∠BEC=∠BOA=90°∵∠CEB=∠ABO∴△BEC∽△AOB∴CECBOAAB∵OA=6，OB=8，OC=m∴AB=22OAOB=10，CB=8-m∴CE=35(8-m)（2）存在。∵m=3∴CB=5，CE=3∴BE=4∵F在y轴上∴DE∥OB∴ODOABEAB∴OD=125∴点D坐标为（125，0）BxEFDCAOyBxEFDCAOy（3）①当0＜m＜8时，以CE为直径作⊙P，当⊙P与x轴相切于点D时，平行四边形CDEF为矩形，如图a。此时，PC=PD=12CE=310(8-m)过点P作PQ⊥y轴于Q，易证得△PQC∽△BOA∴CQPCOAAB∴CQ=950(8-m)∴OQ=OC+CQ=m+950(8-m)易证四边形ODPQ为矩形，则OQ=PD=PC∴m+950(8-m)=310(8-m)，得m=67②当m≥8时，OQ＞PC，不存在满足条件的m。③当m=0时，点C与点O重合，如图b，显然满足条件。④当m＜0，且点E与点A重合时，以CE为直径作⊙P必过点O，当点D与点O重合时，平行四边形CDEF为矩形，如图c。∵∠BAC=90°，AO⊥BC∴OA2=OB·OC(射影定理)∴OC=92∴m=-92⑤当m＜0，且点E与点A不重合时，当⊙P与x轴相切于点D时，平行四边形CDEF为矩形，如图d。与①同理可得，CQ=950(8-m)，OC=-m∴OQ=OC-CQ=-m-950(8-m)∵OQ=PD=PC∴-m-950(8-m)=310(8-m)解得m=9613综上所述，m=67或0或-92或9613BAEDOCFyxPQBOCEAFDyxBA(E)FOCDyP图a图b图c图dBOCEAFDyxPQ2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编【2013·浙江义乌·24题】如图1，已知y=6x(x＞0)图象上一点P，PA⊥x轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b＞0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q，连接AQ，取AQ的中点为C。（1）如图2，连接BP，求△PAB的面积；（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC时菱形，面积为23，求此时P点的坐标；（3）当点Q在射线BD上时，且a=3，b=1，若以点B、C、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长。解：（1）由题意可得，OA=a，AP=6a∴S△PAB=12AP·OA=12·6a·a=3（2）∵DB⊥AB∴∠ABQ=90°∵C是AQ的中点∴BC=CQ=AC∵四边形BQNC是菱形∴BC=BQ=CN=QN∴BC=BQ=CQ=CN=QN∴△BCQ、△NCQ是等边三角形∴∠AQB=60°∴∠BAQ=30°∵菱形BQNC的面积为23∴BC=BQ=2，AQ=4∴AB=23∵BQ=NQ，∠AQB=∠AQN=60°，AQ=AQ∴△ABQ≌△ANQ∴∠NAQ=∠BAQ=30°∴∠BAO=30°∴OA=32AB=3，即a=3∵点P在y=6x图象上，PA⊥x轴∴点P坐标为（3，2）（3）易证△ABD∽△BOA，则BDABOAOB∵OA=3，OB=1∴AB=10，BD=310①当Q在线段BD上时，如图3a。∵四边形BCNQ是平行四边形∴CN∥QD，CN=BQ∵C是AQ的中点∴N是AD的中点∴CN=12QD∴BQ=12(BD-BQ)∴BQ=13BD=10∴AQ=22ABBQ=25∴BC=12AQ=5∴C□BCNQ=2(BC+BQ)=210+25②当Q在线段BD的延长线上时，如图3b。∵BC=CQ=12AQ∴平行四边形BCQN是菱形∴AQ=2CQ=2BN∵BN∥AQ∴12BDBNDQAQ∴DQ=2BD∴BQ=BD+DQ=3BD=910∴AQ=22BQAB=2205∴CQ=205∴C□BCQN=4CQ=4205故，该平行四边形的周长为210+25或4205BA(E)FOCDyxPBOCEAFDyxPQPDABOxyBA(E)FOCDyxPBOCEAFDyxPQPDABOxyMNQCBA(E)FOCDyxPBOCEAFDyxPQDABOxyMNQCDABOxyMNQC图1图2图3a图3b2013年浙江省各地市数学中考压轴题解析汇编【2013·浙江衢州·24题】在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D。点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动。设移动时间为t秒。（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=-1t(x-t)2+t（t＞0）。问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由解：（1）∵OD平分∠AOC∴∠AOD=45°∴△AOD是等腰直角三角形∴AD=OA=2∴OD=22∴t=2（2）由题意可得，B（6，2），Q（2t，0），P（t，t）则BQ2=(2t-6)2+4，BP2=(t-6)2+(t-2)2，PQ2=2t2①当∠PQB为直角时，则BP2=BQ2+PQ2∴(t-6)2+(t-2)2=(2t-6)2+4+2t2即t2-2t=0解得t=0(舍去)或2②当∠QPB为直角时，则BQ2=BP2+PQ2∴(2t-6)2+4=(t-6)2+(t-2)2+2t2即8t=0解得t=0(舍去)③当∠PBQ为直角时，则PQ2=BQ2+BP2∴(t-6)2+(t-2)2+(2t-6)2+4=2t2即t2-10t+20=0解得t=5-5或5+5故，当t=2或5-5或5+5时，△PQB为直角三角形（3）存在∵将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上∴旋转中心为PQ的中点，此时，四边形PBQB′为平行四边形∵P（t，t），Q（2t，0）∴旋转中心坐标为（32t，12t）∵点