12年高考真题——理科数学(全国卷)

12年高考真题——理科数学(全国卷)-1-/62012年普通高等学校招生全国统一考试（全国）卷数学（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1．复数131ii（）（A）2i（B）2i（C）12i（D）12i2．已知集合1,3,Am，1,Bm，ABA，则m（）（A）0或3（B）0或3（C）1或3（D）1或33．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x，则该椭圆的方程为（）（A）2211612xy（B）221128xy（C）22184xy（D）221124xy4．已知正四棱柱1111ABCDABCD中，2AB，122CC，E为1CC的中点，则直线1AC与平面BED的距离为（）（A）2（B）3（C）2（D）15．已知等差数列na的前n项和为nS，55a，515S，则数列11nnaa的前100项和为（）（A）100101（B）99101（C）99100（D）1011006．ABC中，AB边的高为CD，若CBa，CAb，0ab，||1a，||2b，则AD（）（A）1133ab（B）2233ab（C）3355ab（D）4455ab7．已知为第二象限角，sincos33，则cos2（）（A）53（B）59（C）59（D）538．已知12,FF为双曲线C：222xy的左、右焦点，点P在C上，12|||2|PFPF，则12cosFPF（）（A）14（B）35（C）34（D）459．已知lnx，5log2y，12ze，则（）（A）xyz（B）zxy（C）zyx（D）yzx10．已知函数23yxxc的图像与x恰有两个公共点，则c（）（A）2或2（B）9或3（C）1或1（D）3或111．将字母,,,,,aabbcc排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相12年高考真题——理科数学(全国卷)-2-/6同，则不同的排列方法共有（）（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种12．正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，73AEBF。动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）（A）16（B）14（C）12（D）10二．填空题：共4题，每小题5分，共20分。13．若,xy满足约束条件1030330xyxyxy，则3zxy的最小值为_________。14．当函数sin3cos02yxxx取得最大值时，x___________。15．若1nxx的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为__________。16．三棱柱111ABCABC中，底面边长和侧棱长都相等，01160BAACAA。则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为________。三．解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。17．（本小题共10分）ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知2ac，coscos1ACB，求c。18．（本小题共12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，22AC，2PA，E是PC上的一点，2PEEC。⑴证明：PC⊥平面BED；⑵设二面角APBC为090，求PD与平面PBC所成角的大小。19．（本小题共12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换.每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。⑴求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；⑵表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。20．（本小题共12分）设函数cos0fxaxxx。⑴讨论fx的单调性；⑵设1sinfxx，求a的取值范围。PEDCBA12年高考真题——理科数学(全国卷)-3-/621．（本小题共12分）抛物线2:1Cyx与圆2221:102Mxyrr有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l。⑴求r；⑵设,mn是异于l且与C及M都相切的两条直线，,mn的交点为D，求D到l的距离。22．（本小题共12分）函数223fxxx，定义数列nx如下：12x，1nx是过两点4,5P、,nnnQxfx的直线nPQ与x轴交点的横坐标。⑴证明：123nnxx；⑵求数列nx的通项公式。2012年普通高校招生全国统考数学试卷（全国卷）解答一．CBCDADACDAAB二．13．1；14．56；15．56；16．63。17．解：由BAC得coscosBAC，故1coscosACBcoscos2sinsinACACAC，得sinsin12AC。由2ac及正弦定理得sin2sinAC，故2sin14C，于是sin12C（舍负）。又2ac，故6C。18．解：⑴因底面ABCD为菱形，故ACBD。又PA底面ABCD，故PCBD。设ACBDF，连EF。因22AC，2PA，2PEEC，故23PC，2FC，233EC，从而6PCACFCEC。又FCEPCA，故FCEPCA，090FECPAC。因此PCEF。因EF平面BED，BD平面BED，且EFBDF，所以PC平面BED；12年高考真题——理科数学(全国卷)-4-/6⑵如图建系Axyz，设2,,00Dbb，22,0,0C，则0,0,2AP，2,,0ABb，22,0,2PC，23,,23BEb。设,,nxyz为平面PAB的法向量，则00nABnAP，即2020zxby，取xb得,2,0nb。设,,mpqr为平面PBC的法向量，则00mBEmPC，即22202320prpbqr，取1p得1,2,2mb。因平面PAB平面PBC，故0mn，于是20bb，得2b。因此1,1,2m，2,2,2DP。故01cos,,602||||DPmmDPmDPDPm，所以PD与平面PBC所成的角为030。19．解：记0,1,2iAi表示事件：第次和第次这两次发球，甲共得i分；A表示事件：第次发球，甲得分；B表示事件：开始第次发球时，甲、乙的比分为1:2。⑴由题0.4PA，200.40.16PA，120.60.40.48PA，因此01010.160.40.480.60.352PBPAAAAPAPAPAPA；⑵由题220.60.36PA，的可能取值为0,1,2,3。故20PPAA20.144PAPA，20.352PPB，003PPAAPAPA0.096，110230.408PPPP。因此的数学期望为001122331.400EPPPP。20．解：⑴由题sinfxax。①当1a时，0fx，且仅当1a，2x时取等号。故fx在0,是增函数；②当0a时，0fx，且仅当0a，x时取等号。故fx在0,是减函数；③当01a时，由0fx解得1arcsinxa，2arcsinxa。当10xx时，sinxa，0fx，故fx在10,x是增函数；当12xxx时，sinxa，0fx，故fx在12,xx是减函数；当2xx时，zyx12年高考真题——理科数学(全国卷)-5-/6sinxa，0fx，故fx在2,x是增函数；⑵由题得11fa，故2a。令2sin02gxxxx，则2cosgxx。当20arccosx时，0gx。当2arccos2x时，0gx。又002gg，故0gx，即2sin02xxx。当2a时，有2cosfxxx。①当02x时，2sinxx，cos1x，所以1sinfxx；②当2x时，22cos1sin1sin22fxxxxxx。综上，,2a。21．解：⑴设200,1Axx，对21yx求导得21yx，故l的斜率021kx。当01x时，不合题意，故01x。圆心为1,12M，故MA的斜率2001112kxx。由lMA知1kk，解得00x。故0,1A，因此||52rMA；⑵设2,1tt为C上一点，则在该点处的切线方程为2121yttxt，即2211ytxt。若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为52，即2251|2111|41122ttt，化简得22460ttt。解得00t，1210t，2210t。抛物线C在点2,10,1,2iitti处的切线分别为l：21yx①，m：211211ytxt②，n：222211ytxt③。由②-③得1222ttx，将2x代入②得1y，故2,1D。所以D到l的距离为2|2211|21655d。22．解：⑴①当1n时，12x，直线1PQ：255424fyx，令0y得12年高考真题——理科数学(全国卷)-6-/62114x，故1223xx；②假设当nk时结论成立，即123kkxx。直线1kPQ：115544kkfxyxx，令0y得121134554432223kkkkxxxx，112113102kkkkkxxxxx即21kkxx。故1223kkxx。即当1nk时结论成立。综上知对任意正整数n，都有123nnxx；⑵由⑴及题得1342nnnxxx。令3nnbx，则1151nnbb，11111544nnbb，故114nb是首项为34，公比为5的等比数列。故1113544nnb，即14351nnb。所以143351nnx。