人教版数学必修二1.3-空间几何体的表面积和体积

1.3简单几何体的表面积和体积1、表面积：几何体表面的面积2、体积：几何体所占空间的大小。12/2/20199:40:54AM云在漫步12/2/20199:40:54AM云在漫步表面积、全面积和侧面积•表面积：立体图形的所能触摸到的面积之和叫做它的表面积。（每个面的面积相加）•全面积全面积是立体几何里的概念，相对于截面积（“截面积”即切面的面积）来说的，就是表面积总和•侧面积指立体图形的各个侧面的面积之和（除去底面）12/2/20199:40:54AM云在漫步12/2/20199:40:54AM云在漫步棱柱、棱锥、棱台的侧面积•侧面积所指的对象分别如下：•棱柱----直棱柱。•棱锥----正棱锥。•棱台----正棱台2.几何体的表面积（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是.（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是、、；它们的表面积等于.各面面积之和矩形扇形扇环形侧面积与底面面积之和回忆复习有关概念1、直棱柱：2、正棱柱：3、正棱锥：4、正棱台：侧棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫正棱台作直三棱柱、正三棱锥、正三棱台各一个，找出斜高CBAA1B1C1COBAPDC1D1A1ODBACB1斜高的概念2、分别作出一个圆柱、圆锥、圆台，并找出旋转轴分别经过旋转轴作一个平面，观察得到的轴截面是什么形状的图形.ABCDABCABCD矩形等腰三角形等腰梯形①直棱柱：设棱柱的高为h，底面多边形的周长为c，则S直棱柱侧＝.（类比矩形的面积）②圆柱：如果圆柱的底面半径为r，母线长为l，那么S圆柱侧＝.（类比矩形的面积）ch2πrl知识点一：柱、锥、台、球的表面积与侧面积(1)柱体的侧面积把直三棱柱侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？chhcbaS)＝（直棱拄侧habcabchh棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？h正棱柱的侧面展开图底侧表面积SSS2思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？rlr2长＝宽＝llSSr2＝长方形圆柱侧长方形圆柱的侧面展开图是矩形2222()SrrlrrlOOrl2r底侧表面积SSS2①正棱锥：设正棱锥底面正多边形的周长为c，斜高为h′，则S正棱锥侧＝.（类比三角形的面积）②圆锥：如果圆锥的底面半径为r，母线长为l，那么S圆锥侧＝.（类比三角形的面积）1∕2ch′πrl(2)锥体的侧面积把正三棱锥侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？h'h''21chS＝正棱锥侧棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？/h/h正三棱锥的侧面展开图h'h'侧面展开正五棱锥的侧面展开图底侧表面积SSS思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？rl180lnl＝扇lR＝扇rllllnSS扇扇圆锥侧＝＝213602扇形圆锥的侧面展开图是扇形r2lOr2()Srrlrrl①正棱台：设正n棱台的上底面、下底面周长分别为c′、c，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式：S正棱台侧＝.②圆台：如果圆台的上、下底面半径分别为r′、r，母线长为l，则S圆台侧＝．1∕2(c＋c′)h′πl(r′＋r)(3)台体的侧面积注：表面积＝侧面积＋底面积．把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？侧面积怎么求？（类比梯形的面积）h'h'')'21hccS（＝正棱台侧侧面展开h'h'正四棱台的侧面展开图棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？下底上底侧表面积SSSS参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么．r2lOrO’'r'2r圆台的侧面展开图是扇环2'2'()Srrrlrl思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？1r2rl扇环lrrSS)21（＝＝扇环圆台侧r2lOrO’'r'2r2'2'()Srrrlrlx'rxrxl''rxrxrlS侧''()()rlxrxrlrxrx'()rlrllOrO’'r圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？lOOrlOr2222()Srrlrrl2()Srrlrrl2'2'()Srrrlrl棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，h'h'它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和例1：一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是3/2cm，求三棱台的侧面积.分析：关键是求出斜高，注意图中的直角梯形ABCC1A1B1O1ODD1E例3：圆台的上、下底面半径分别为2和4，高为，求其侧面展开图扇环所对的圆心角32分析：抓住相似三角形中的相似比是解题的关键小结：1、抓住侧面展开图的形状，用好相应的计算公式，注意逆向用公式；2、圆台问题恢复成圆锥图形在圆锥中解决圆台问题，注意相似比.答：1800例：圆台的上、下底半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是1800，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留π）小结：1、弄清楚柱、锥、台的侧面展开图的形状是关键；2、对应的面积公式')'cc21hS＋（＝正棱台C’=0'21chS＝三棱锥C’=CchchS'＝直棱柱S圆柱侧=2πrlS圆锥侧=πrlS圆台侧=π（r1+r2)lr1=0r1=r2例1：一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为______;答：60例2：正四棱锥底面边长为6,高是4，中截面把棱锥截成一个小棱锥和一个棱台，求棱台的侧面积79答：例3已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．DBCAS分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．因为BC=a，aSBSD2360sin所以：243232121aaaSDBCSABC因此，四面体S-ABC的表面积．交BC于点D．解：先求的面积，过点S作，ABCBCSD例4(2010年广东省惠州市高三调研)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE＝DE.(1)求此正三棱柱的侧棱长；(2)正三棱柱ABC－A1B1C1的表面积．【思路点拨】(1)证明△AED为直角三角形，然后求侧棱长；(2)分别求出侧面积与底面积．【解】(1)设正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长为x.∵△ABC是正三角形，∴AE⊥BC.又底面ABC⊥侧面BB1C1C，且交线为BC，∴AE⊥侧面BB1C1C，在Rt△AED中，由AE＝DE，得1＋x24＝3，解得x＝22.即正三棱柱的侧棱长为22.【点评】求表面积应分别求各部分面的面积，所以应弄清图形的形状，利用相应的公式求面积，规则的图形可直接求，不规则的图形往往要再进行转化，常分割成几部分来求．(2)S＝S侧＋S底，S侧＝3×2×22＝122，S底＝12×3×2×2＝23，∴S＝S侧＋S底＝122＋23.思考：怎样求斜棱柱的侧面积？1）侧面展开图是——平行四边形2）S斜棱柱侧=直截面周长×侧棱长3）S侧=所有侧面面积之和1．高考中对几何体的表面积的考查一般在客观题中，借以考查空间想象能力和运算能力，只要正确把握几何体的结构，准确应用面积公式，就可以顺利解决．几何体的表面积问题小结2．多面体的表面积是各个面的面积之和．圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．3．几何体的表面积应注意重合部分的处理．几何体占有空间部分的大小叫做它的体积一、体积的概念与公理:公理1、长方体的体积等于它的长、宽、高的积。V长方体=abc推论1、长方体的体积等于它的底面积s和高h的积。V长方体=sh推论2、正方体的体积等于它的棱长a的立方。V正方体=a3公理2、夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。PQ祖暅原理定理1：柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积s和高h的积。V柱体=sh二：柱体的体积推论：底面半径为r，高为h圆柱的体积是V圆柱=r2h三:锥体体积例2：如图：三棱柱AD1C1-BDC,底面积为S,高为h.ABDCD1C1CDABCD1ADCC1D1A答:可分成棱锥A-D1DC,棱锥A-D1C1C,棱锥A-BCD.问：（1）从A点出发棱柱能分割成几个三棱锥？3.1．锥体（棱锥、圆锥）的体积（底面积S，高h）注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离问题:锥体(棱锥、圆锥）的体积shV31三棱锥定理︰如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是Ｓ，高是ｈ，那么它的体积是：推论：如果圆锥的底面半径是ｒ，高是ｈ，那么它的体积是：hSSＶ锥体＝Ｓｈ3131Ｖ圆锥＝πｒ２ｈShss/ss/hx四.台体的体积V台体=1h(s+ss'+s')3上下底面积分别是s/,s,高是h，则推论：如果圆台的上,下底面半径是r1.r2,高是ｈ，那么它的体积是：31Ｖ圆台＝πh)(222121rrrr五.柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？hSSSSV)(31S为底面面积，h为柱体高ShV0SS分别为上、下底面面积，h为台体高ShV31SSS为底面面积，h为锥体高上底扩大上底缩小(1)长方体的体积V长方体＝abc＝.(其中a、b、c为长、宽、高，S为底面积，h为高)(2)柱体(圆柱和棱柱)的体积V柱体＝Sh.其中，V圆柱＝πr2h(其中r为底面半径)．Sh知识点二．柱、锥、台、球的体积(3)锥体(圆锥和棱锥)的体积V锥体＝Sh.其中V圆锥＝，r为底面半径．131∕3πr2h(4)台体的体积公式V台＝h(S＋＋S′)．注：h为台体的高，S′和S分别为上下两个底面的面积．其中V圆台＝．注：h为台体的高，r′、r分别为上、下两底的半径．(5)球的体积V球＝.1∕3πh(r2＋rr′＋r′2)1∕3πR3例从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A－BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？1．求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法．几何体的体积小结2．计算柱体、锥体、台体的体积关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分利用多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．RROORR球的体积：一个半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等。探究球1V=232=πR33球4V=πR3RROORR221πRR-πRR3第一步：分割O球面被分割成n个网格，表面积分别为：nSSSS...321，，则球的表面积：nSSSSS...321则球的体积为：设“小锥体”的体积为：iViVnVVVVV...321iSO知识点三、球的表面积和体积（O第二步：求近似和Oih由第一步得：nVVVVV...321nnhShShShSV31313131332211...iiihSV31iSiV第三步：转化为球的表面积RSVii31如果网格分的越细,则:RSRSRSRSVni3131313132...RSSSSSRni313132)...(①由①②得:334RV②球的体积:24πRSiSiVih的值就趋向于球的半径RRihiSOiV“小锥体”就越接近小棱锥。设球的半径为R，则球的体积公式为V球