二次函数之面积专题

1二次函数之面积专题（讲义）一、知识点睛1.坐标系中处理面积问题，要寻找并利用“__________”的线．几何中处理面积问题的思路：_______、_______、_______．2.坐标系中面积问题处理方法举例：①割补求面积（铅垂法）：haahMMPBAPBAΔ12APBSahΔ12APBSah②转化求面积：QPBAABPQABPABQSSABPABQSS若P、Q在AB同侧若P、Q在AB异侧则PQ∥AB则AB平分PQ2二、精讲精练1.如图，抛物线经过A(-1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B、C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接MB、MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大？若存在，求出点M的坐标及最大面积；若不存在，说明理由．BCAOMNxyBCAOMNxy32.如图，抛物线322xxy与直线1xy交于A、C两点，其中C点坐标为(2，t)．（1）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC面积的最大值．（2）在直线AC下方的抛物线上，是否存在点G，使得Δ6AGCS？如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．ABPOxyCCyxOPBA43.抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，与直线y=-x+p交于点A和点C(2,-3).（1）若点P在抛物线上，且以点P和A、C以及另一点Q为顶点的平行四边形ACQP的面积为12，求P、Q两点的坐标；（2）在（1）的条件下，若点M是x轴下方抛物线上的一动点，当△PQM的面积最大时，请求出△PQM的最大面积及点M的坐标．yxDOACByxDOACB54.如图，抛物线y＝-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，连接PB．（1）抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．（2）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．PAOCMBxyPAOCMBxy65.如图，己知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(1，0)和点B，与y轴交于点C(0，-3)．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，己知点H(0，-1)，在抛物线上是否存在点G（点G在y轴的左侧），使得S△GHC=S△GHA？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．AOCBxyHHGyxBCOA三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________7【参考答案】一、知识点睛1.横平竖直2.公式、割补、转化二、精讲精练1.解：（1）223yxx（2）∵点M在抛物线上，∴M（m，223mm）由点B（3,0），C（0,3）可得直线BC解析式：y=-x+3∴N（m，-m+3）∴MN=222333mmmmm（）（3）过点C作CE⊥MN于点E，直线MN交x轴于点F，则FEBCAOMNxy221122121213323922BCMCMNBMNSSSCEMNBFMNCEBFMNOBMNmmmm81922BOCSOBOC∴S四边形OBMC223993363222228BCMBOCSSmmm∵0m3，∴当m=32时，S四边形OBMC最大=638，此时，M（32，154）2.解：（1）过点P作PE⊥x轴，交AC于点E，FGEABPOxyC由抛物线223yxx得A（-1，0），C（2，3）设P（m，223mm）（-1m2）则E（m，m+1）∴PE=2223-m12mmmm2211312733222228APCSPEmmm∴当m=12，27=8APCS最大（2）过点G作GF⊥x轴，交AC于点F，设G（n，2n23n）（n-1或者n2）则F(n，n+1)，9∴22G11333GF312332222ACSnnnnn∵G6ACS，∴2333622nn，解得n=3或n=-2∴123,0,2,5GG3.解：（1）由y=x2-2x-3，可知A（-1，0）、B（3，0）由C（2，-3）在y=-x+p上，可知y=-x-1过点P作PE⊥x轴，交AC于点E.设P（m，m2-2m-3），则E（m，-m-1）∵平行四边形ACQP面积为12∴6ACPS当点P在直线AC上方时，如图1，xyABODCPE图16321PESSSCPEAPEACP∴PE=4，此时PE=m2-2m-3-（-m-1）=m2-m-2m2-m-2=4，解得m1=3，m2=-2∴P1（3，0）、P2（-2，5）由平行四边形对边平行且相等Q1(6，-3)、Q2(1，2)当点P在直线AC下方时，如图2，10xyABODCPE图26321PESSSCPEAPEACP∴PE=4，此时PE=-m-1-（m2-2m-3）=-m2+m-2-m2+m-2=4，方程无解.因此，满足条件的P，Q点是P1(3，0)，Q1(6，-3)或P2(-2，5)，Q2(1，2)（2）由（1）可知，PQ=AC=23，GMQNxyAB(P)ODCHF11过M作MF⊥PQ于点F，则MFMFPQSPQM22321当直线MN与抛物线只有一个交点时，MF最大，此时面积最大过点M作MN//PQ，交y轴于点N，过N作NH⊥PQ于H设直线MN为y=-x+n，则由322xxynxy令△=0，此时n=413，N（0，413）得方程0412xx，21x∴M（21，-415）∵MF=NH=8225)4133(2222NG∴8758225223223MFSPQM∴△PQM最大面积为875，此时点M为（21，-415）4..解：（1）存在，坐标为Q1（2，3）、Q2（3172，1172）、Q3（3172，1172）理由：如图所示12由抛物线表达式：y=-2x2+2x+3∴A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）、P（1，4）∵S△QMB=S△PMB∴PQ1∥BC，Q2Q3∥BC又∵BC：y=-x+3设PQ1：y=-x+bPQ1过点P（1，4）∴PQ1：y=-x+5得yxyxx2523即xx2320∴x1=1（舍）x2=2∴Q1（2，3）又∵PQ1：y=-x+5，E（0，5）S△QMB=S△PMB∴CF=CE=2∴Q2Q3：y=-x+1得yxyxx2123即xx2320∴x1=3172x2=3172∴Q2（3172，1172）Q3（3172，1172）13（2）存在，坐标为R（12，2）理由：过点P作PH⊥MR于点H过点B作BI⊥MR于点I连接PB交MR于点O′∵S△PMR=S△BMR∴PH=BI易证△PHO′≌△BIO′∴PO′＝BO′又∵P（1，4）B（3，0）∴O′（2，2）又M（1，2）∴MO′：y=2得yyxx2223即xx2210∴x1=12x2=12（点R在第一象限，舍去）∴R（12，2）5.（1）抛物线表达式为y=x2+2x-3（2）存在△GHC和△GHA有一公共边GH，如果以GH为底，对应的高相等，则S△GHC=S△GHA．14i）如图1，图1HGyxBCOA当点A、C在GH的同侧，AC∥GH时，S△GHC=S△GHA∵A(1，0)，C(0，-3)∴直线AC的表达式为y=3x-3又∵H(0，-1)∴直线GH的表达式为y=3x-132132xxyxy∴41yx或52yx（舍）∴G（-1，-4）ii）如图2，15图2GPAOCBxyH当点A、C在GH的异侧，线段AC的中点在GH上时，S△GHC=S△GHA∵A(1，0)，C(0，-3)∴线段AC的中点P为),(2321又∵H(0，-1)此时直线GH的表达式为y=-x-13212xxyxy21712173yx或21712173yx（舍）∴G),(21712173综上G1（-1，-4），G2),(21712173