《变化率与导数》课件

变化率与导数问题1气球膨胀率在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?结论：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.(1)(0)0.62(dm/L),10rr当v由01时，气球的平均变化率：(2)(1)120.16(dm/L)21rrv当由时，气球的品均变化率：3343VV()(V).34rrr由气球体积（一）平均变化率2121()()rVrVVV思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系在某段时间内，高度相对于时间的变化率用平均速度来描述。即:v在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,);m/s(05.405.0)0()5.0(hhv);m/s(2.812)1()2(hhv2()4.96.510httt问题2.平均速度.思考：求t1到t2时的平均速度．2121()()StStvtt观察函数f(x)的图象OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)平均变化率的定义：)(xf一般地，函数在区间上的平均变化率为12[,]xx2121()()fxfxxx令△x=x2–x1,△y=f(x2)–f(x1),则平均变化率可以表示为xy几何意义是表示曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。例1、已知函数f(x)=2x+1,计算在区间[1，2]上f(x)的平均变化率.例2、已知函数f(x)=x2,计算f(x)在下列区间[1，3]上的平均变化率：例3已知f(x)=2x2+1(1)求:其从x1到x2的平均变化率；(2)求:其从x0到x0+Δx的平均变化率.平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.65049t计算运动员在这段时间的平均速度，思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里静止吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究讨论：（二）、导数的概念在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.又如何求瞬时速度呢?平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth求：从2s到(2+Δt)s这段时间内平均速度(2)(2)13.14.9hhthvtttΔt0时，在[2+Δt,2]这段时间内Δt0时,在[2,2+Δt]这段时间内1.139.4tv1.139.4tv当Δt=–0.01时,当Δt=0.01时,当Δt=–0.001时,当Δt=0.001时,当Δt=–0.0001时,当Δt=0.0001时,Δt=–0.00001,Δt=0.00001,Δt=–0.000001,Δt=0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?105.69.4)(2ttth…………149.13v0951.13v1049.13v10049.13v099951.13v100049.13v1000049.13v13.051v13.09951v13.0999951v当Δt趋近于0时,即无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值–13.1.1.13)2()2(lim0ththt从物理的角度看,时间间隔|Δt|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1.v表示“当t=2,Δt趋近于0时,平均速度趋近于确定值–13.1”.v从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度13.14.9hvtt1.运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率怎样表示?5.68.9)5.68.99.4(lim)5.68.9()(9.4lim)()(lim000020000ttttttttthtthttt导数的概念00000()()()limlimxxfxxfxffxxx一般地，函数y=f(x)在点x=x0处的瞬时变化率是0000()()limlimxxfxxfxfxxoxxy0()fx我们称它为函数y=f(x)在点x=x0处的导数，记为或，即说明：)(xf0x0xxyxy0x（1）函数在点处可导，是指时，有极限．如果不存在极限，就说函数在处不可导，或说无导数．点x是自变量x在0x处的改变量，0x，而y是函数值的改变量，可以是零．（2）)(xfy0x由导数的定义可知，求函数在处的导数的步骤:00()()ffxxfx（1）求函数的增量:；00()()fxxfxfxx（2）求平均变化率:；00()limxffxx．（3）取极限，得导数:例1.(1)求函数y=3x2在x=1处的导数.(2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．(3)质点运动规律为s=t2+3，求质点在t=3的瞬时速度.三．典例分析例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时,原油的温度(单位:)为f(x)=x2–7x+15(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.C