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浅谈求数列通项公式的几种方法灵璧县黄湾中学柯林摘要:本文通过几个最新的具体的高考实例分别介绍了高中阶段求数列通项公式的几种不同方法。数列在理论上和实践中均有较高的价值,是培养学生观察能力、理解能力、逻辑思维能力的绝好载体,高考对数列知识的考察从未间断过,而且在前几年,很多省市的高考数学卷都把数列题作为压轴题。数列的通项公式是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样,有了解析式便可研究性质等;而有了数列的通项公式便可求出数列中的任一项及前n项和等。因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口、关键点。本文即通过几个高考实例总结了在高中阶段,求数列的通项公式的常用方法和策略。1.观察法即归纳推理,就是观察数列特征,找出各项共同的构成规律,横向看各项之间的关系结构,纵向看各项与项数n的内在联系,从而归纳出数列的通向公式,然后利用数学归纳法加以证明即可。例1.(2014年重庆理科)设11a,)(2221Nnbaaannn.(Ⅰ)若1b,求32,aa及数列}{na的通项公式.解:由题意可知:11111a,11221221212aaa,113121222223aaa.因此猜想11nan.下面用数学归纳法证明上式.(1)当n=1时,结论显然成立.(2)假设当n=k时结论成立,即11kak,则11)1(11)1(11)1(122221kkaaaakkkk,即当n=k+1时结论也成立.由(1)、(2)可知,对于一切正整数n,都有)(11Nnnan.点评:采用数学归纳法证明是理科教学内容,较为容易,好掌握。2.定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目。例2.(2015年北京文科)已知等差数列na满足1210aa,432aa.(Ⅰ)求na的通项公式;(Ⅱ)设等比数列nb满足23ba,37ba,问:6b与数列na的第几项相等?解:(Ⅰ)设等差数列na的公差为d.因为432aa,所以2d.又因为1210aa,所以1210ad,故14a.所以42(1)22nann(1,2,)n.(Ⅱ)设等比数列nb的公比为q.因为238ba,3716ba,所以2q,14b.所以61642128b.由12822n,得63n.所以6b与数列na的第63项相等.点评:当已知数列为等差或等比数列时,可直接利用等差或等比数列的定义求出数列的首项与公差或公比,再写出通项公式。3.公式法若已知数列的前n项和ns与na的关系,求数列na的通项na可用公式求解。例3.(2015年山东理科)设数列{}na的前n项和为nS,已知233.nnS(Ⅰ)求数列{}na的通项公式。解:(Ⅰ)由233nnS可得:当1n时,111(33)32aS,当2n时,11111(33)(33)3(2)22nnnnnnaSSn而11133a,所以13,1,3,1.nnnan点评:利用公式求解时,要注意对n分类讨论,但若能合写时一定要合并。4.累加法当递推公式为)(1nfaann时,其中(1)(2)...()fffn的和比较易求,通常解法是把原递推公式转化为1()nnaafn,利用累加法(逐差相加法)求解。例4.(2015年江苏)数列}{na满足11a,且11naann(*Nn),则数列}1{na的前10项和为解:由题意得:112211)()()(aaaaaaaannnnn12)1(nn2)1(nn所以)111(2)1(21nnnnan所以)211(2)111(2)111(2nnnnsn)111(2n12nn所以112010s5.累乘法当递推公式为)(1nfaann时,其中)()2()1(nfff的积比较易求,通常解法是把原递推公式转化为)(1nfaann,利用累乘法(逐商相乘法)求解。例5.已知数列na满足112,31nnnaaan,求na的通项公式。解:由条件知11nnanan,在上式中分别令)1(,,3,2,1nn,得1n个等式累乘之,即nnaaaaaaaann14332211342312,即naan11又321anan326.构造法(1)当递推公式为qpaann1(其中qp,均为常数,且0)1(ppq)时,通常解法是把原递推公式转化为)(1taptann,其中pqt1,再利用换元法转化为等比数列求解。例6.(2014年新课标全国卷Ⅱ)已知数列}{na满足13,111nnaaa。(I)证明}21{na是等比数列,并求}{na的通项公式。解:由131nnaa得)21(3211nnaa又23211a所以}21{na是首项为23,公比为3的等比数列所以23323211nnna因此数列}{na的通项公式为213nna.(2)当递推公式为)0,,(1pkbkpbknpaann均为常数,且其中时,通常解法是把原递推公式转化为)()1(1yxnapynxann,其中yx,的值由方程byxpykxpx给出。例7.(2007年天津文科)在数列}{na中,1a=2,1na=431nan。(I)求数列}{na的通项na。解:由1341naann得)(4)1(1nanann又111a所以数列}{nan是首项为1,公比为4的等比数列所以14nnna,即nann14.(3)当递推公式为nnncpaa1(其中cp,均为常数,且0pc)时,通常解法是把原递推公式转化为ccacpcannnn111。①若cp,则ccacannnn111,此时数列}{nnca是以ca1为首项,以c1为公差的等差数列,则cncacann1)1(1,即11)1(nncana。②若cp,则可化为)1)((11pcttcacptcannnn其中形式求解。例8.已知数列{na}中,1a=1,1na=23nna,求数列的通项公式。解:由nnnaa321得)3(2311nnnnaa所以数列{3}nna是首项为113a=2,2q的等比数列所以3nna=122n,即na=32nn(4)当递推公式为11()nnnababfn)0(b时,通常解法是把原递推公式转化为111)(nnnnnbnfbaba(其中111)(niiibif可求和),从而可由累加法求解。例9.(2007年天津理科)在数列{na}中,1a=2,且11(2)2nnnnaa(nN)其中>0.()求数列{na}的通项公式。解:由11(2)2nnnnaa得1111221nnnnnnnnaa即111221nnnnnnaa所以2{}nnna是首项为120a,公差1d的等差数列所以20(1)1nnnann,即(1)2nnnan。(5)当递推公式为1nnnpaaqas(sqp,,为常数,且0pqs)时,通常两边同时取倒数,把原递推公式转化为pqpasann11。①若sp,则}1{na是以11a为首项,以pq为公差的等差数列,则pqnaan)1(111,即11)1(panqapan。②若sp,则可转化为)1(11tapstann(其中spqt)形式求解。例10.(2006年江西理科)已知数列{na}满足132a,且11321nnnnaaan(2nnN)()求数列{na}的通项公式。解:原式可变形为112(1)3nnnnaanana两边同除以31nnaa得111233nnnnaa……⑴构造新数列{}nna,使其成为公比q13的等比数列即111()3nnnnaa整理得11233nnnnaa满足⑴式使2233∴1∴数列{1}nna是首项为11113a,q=13的等比数列∴11111()()333nnnna∴331nnnna。(6)当递推公式为1nnnsatapaq(,,,,stpq为常数,且0stpq)时可用方程sxtxpxq解得两根12,xx,然后利用111nnnsataxxpaq或122nnnsataxxpaq,直接整理转化求解,也可将两式作比进行求解,此种方法称为“特征根法”或“不动点法”。例11.设数列}{na满足7245,211nnnaaaa,求}{na的通项公式。解:由72451nnnaaa得725247)52(7247)52(72451nnnnnnnattatatattaata令5247ttt,解之得21或t.代入上式得721311nnnaaa,722921nnnaaa两式相除得21312111nnnnaaaa所以数列}21{nnaa是以412111aa为首项,31为公比的等比数列所以1)31(4121nnnaa,解得13423411nnna.(7)当递推公式为rnnpaa1(其中rp,为常数)时。①若0,0nap,可用对数法,即等式两边同时取对数,转化为parannlglglg1形式求解。②若0p,可用迭代法求解。例12.(2005年江西理科)已知数列}{na的各项都是正数,且满足10a,))(4(211Nnaaannn.(I)证明Nnaann,21;(II)求数列}{na的通项公式na.解:(I)略;(II)因为]4)2([21)4(2121nnnnaaaa所以21)2()2(2nnaa令2nnab,则nnbbbbnnn20221222211)21()21(2121又1200ab所以12)21(nnb,即12)21(22nnnba.(8)当递推公式为2nap1naqna(qp,均为常数)(又称二阶递归)时,将原递推公式2nap1naqna转化为2na-1na=(1na-na).其中、由pq解出,由此可得到数列{1na-na}是等比数列。例13.(2015年广东文科)设数列na的前n项和为nS,n.已知11a,232a,354a,且当2n时,211458nnnnSSSS.1求4a的值;2证明:112nnaa为等比数列;3求数列na的通项公式.解:(1)略;(2)因为)2(854112nSSSSnnnn所以)2(44441112nSSSSSSnnnnnn即)2(4412naaannn因为21344aaa所以1244nnnaaa因为21)2(2224242424212111111112112nnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaa所以数列}21{1nnaa是以12112aa为首项,以21为公比的等比数列。(3)由(2)知11)21(21nnnaa,即4)21()21(11nnnnaa所以数列nna
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