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1☆场的概念§1.3标量场的梯度§1.4矢量函数的散度§1.5矢量函数的旋度§1.6亥姆霍兹定理第一章矢量分析与场论基础☆矢量场的分类2☆场的概念场的概念:在某一空间区域内的每一点,都对应着某个物理量的一个确定的值场的特性:占有一定空间在该空间域内,除有限个点和表面外,处处连续3标量场:在一定空间的分布状态时,数学上只需用标量函数确定的场如温度场T(x,y,z)、电位场φ(x,y,z)等。矢量场:需要用一个矢量来描述场的状态如电场、磁场、流速场等等。☆标量场与矢量场4§1.3标量场的梯度(DirectionalDerivativeofaScalarField)等值面方向导数梯度5一、标量场的等值面§1.3标量场的梯度m20xyPclm0m10ll0●使标量场取得相同值的点所构成的空间曲面。等值面方程:Czyxu),,(一座山的等高线图6例3-1求数量场φ=(x+y)2-z通过点M(1,0,1)的等值面方程。解:点M的坐标是x0=1,y0=0,z0=1,则该点的数量场值为φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为22)(0)(yxzzyx或7定义:标量场u(x,y,z)在某点沿l方向的变化率)()(lim000MuMuluMMM二、方向导数lucosˆcosˆcosˆˆzyxaaal设coscoscoszuyuxulzzulyyulxxulu8三、标量场的梯度标量场u(M)在M点处的梯度:☆标量场的梯度是一个矢量其模及方向是标量场在该点最大变化率的值和方向直角坐标系中,zyxaxuaxuaxuugraduˆˆˆ梯度:GgraduGlumax)()(lim000MuMuluMMM9nabla(那勃拉)算符------矢量形式的微分算子:zayaxazyxˆˆˆ兼有矢量和微分运算双重作用:;;AAAAugradu10四、梯度运算规则§1.4方向导数、梯度、Green定理设c为一常数,u(M)和v(M)为数量场,很容易证明下面梯度运算法则的成立。)(1)()()(02vuuvvvuvuuvuvvuvuuccuc22222220)(')(zyxff11试证明运算规则)()('ff[证]zfzyfyxfxfzzyyxxf)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆˆˆ)()(所以等式成立])([ˆ])([ˆ])([ˆzfzyfyxfx]ˆˆˆ[)(zzyyxxddf)()('fddf例§1.4方向导数、梯度、Green定理12§1.3矢量场的散度(DivergenceofaVectorField)通量散度高斯散度定理13§1.3矢量场的散度一、矢量场的通量若矢量是分布于空间的量,我们就说在该空域上存在一矢量场,称为场量。AAAs矢量场穿过整个曲面的通量:SSdnAsdAsˆ(标量)vsAnˆdsl,若0有净通量流出,说明S内有源;,若0有净通量流入,说明S内有洞(负源);,若0则净通量为零,说明S内无源;14开曲面上的面元曲面面元:用矢量来表示,即dsnsdˆ大小----ds(2)封闭面:取为封闭面的外法线方向的取法:nˆ(1)开曲面:沿封闭曲线的绕行方向按右手螺旋的拇指方向lsd15矢量A穿过整个曲面S的通量:ssdsnAsdAˆ如果S是一个封闭面,则SdsA16通量反映了封闭面中源的总特性,但没有反映源的分布特性,若要进一步描述源的分布特性,则要引入散度。a)散度(divergence)定义:VsdAsvlim0Adiv散度是通过某点处单位体积的通量(通量体密度);AA它反映了在该点的通量源强度;二、散度,哈密顿算子§1.2通量、散度、散度定理(标量)☆矢量的散度是标量•式中ΔV为封闭面S所包围的体积。•注意:A17电偶极子的电力线和等位线无散场或管形场。无源区中的矢量场叫做无源;,0Adiv;有正源,0Adiv;有负源,0Adiv(A点)(B点)(C点)18同理,穿过左面向外流出的通量为zxyyAAzxyAyyzyyxl.......)2()(ˆ,2,图1.2-3直角坐标表示式的推导AdivzxAzxyAzyyxyzyyxr,2,,2,ˆ...)2(!212222,,,,,2,yyAyyAAAyzyxyzyxyzyyxyzxyyAAyyr.........)2(得故穿过左右两面的通量为........zyxyAylrrl取决于的y分量沿y向的变化率AA穿过右边向外流出的通量:§1.2通量、散度、散度定理b)散度的分量表示式A计算穿过包围点P(x,y,z)的无穷小体积的通量:zyxv19......)(zyxzAyAxAsdAzyxs穿过六面体的总通量:AzAyAxAVsdAAdivzyxsV0lim故(1.2-4)§1.2通量、散度、散度定理※对应于标量的导数,由一维推广至三维;A※的散度是的三维分量沿各自方向的变化率之和,即取决于各分量的纵向变化率。AA20可以证明,散度运算符合下列规则:AAABABA)()(比较上式与式(1.2-4)知:AAdivzAyAxAAzAyAxzzyyxxzyxzyx)ˆˆˆ()ˆˆˆ(Azzyyxxˆˆˆc)哈密顿算子兼有矢量和微分运算双重功能:先按矢量规则展开,再做微分运算:21三、高斯散度定理dsdvSVAAissdAiiivAv,对矢量散度的体积分该矢量的封闭面积分矢量场的散度代表其通量的体密度,因此散度的体积分等于穿过包围该体积封闭面的总通量:得证,lim)(lim1010sdAsdAVAdVAssNiVViiNiViii§1.2通量、散度、散度定理[证]•利用散度定理可将矢量散度的体积分化为该矢量的封闭面积分,或反之。22点电荷q在离其r处产生的电通密度为:其中,模求:任意点处电通密度的散度,并求穿出以r为半径的球面的电通量)0r(rr4qD3zyxzyxrˆˆˆ222zyxrDezyx2/3222DzˆDyˆDxˆ)zyxzzˆyyˆxxˆ4qD([解]5222/52222/32222/3222xrx3r4q])zyxx2)2/3(x)zyx1[4q])zyxx[x4qxD(((§1.2通量、散度、散度定理例123qsrqdsrrrqsdSSSed4ˆ4D23这说明在此球面上所穿过的电通量的源正是点电荷q。52234ryrqyDy52234rzrqzDz同理可见,除了点电荷所在源点外,空间各点的电通密度散度均为0,它是管形场。0r故0)(33452222rzyxrqzDyDxDDzyx§1.2通量、散度、散度定理24球面s上任意点的位置矢量为试利用散度定理计算zzyyxxˆˆˆrSsdr3rzzyyxx然后利用散度定理计算面积分:VVSrrvvs334343d3drdr=[解]首先求出的散度:r例2§1.2通量、散度、散度定理25环量旋度斯托克斯定理§1.5矢量场的旋度(RotationofaVectorField)26§1.3环量、旋度、Stokes定理CirculationandCurlofaVectorField,Stokes’sTheorem一、环量lldAA矢量沿某封闭曲线的线积分,定义为沿该曲线的环量(或旋涡量):AIdIldBl0200ˆ2ˆ=sldsAldPlS●S图1.3-1矢量场的环量图1.3-2电流I的磁通密度Bl方向规定为使所包围面积在其左侧,如图1.3-1所示.应用:*电流会产生环绕它的磁场,沿圆周的线积分就是其环量:BB可见,电流就是旋涡源。•定义:27二、旋度a)定义sllSdAlim0(标量)环量面密度(环量强度):面元是有方向的,在给定点处,上述极限值对于不同的面元是不同的。slnrotlSdAlimˆA0旋度:(矢量)nˆ大小:旋度为矢量在给定点处的最大环量面密度。方向:面元的取向使环量面密度最大时,该面元的方向.A说明该处有漩涡源;,0Arot§1.3环量、旋度、Stokes定理讨论:说明该处无漩涡源,0Arot(保守场)。Arot反映在该处的旋涡源强度。A28b)分量表示式)(ˆ)(ˆ)(ˆyAxAaxAzAazAyAaArotxyzzxyyzxC)运算zyxzyxAAAzyxaaaˆˆˆA)(ˆ)(ˆ)(ˆ)ˆˆˆ()ˆˆˆ(AyAxAaxAzAazAyAaAaAaAazayaxaxyzzxyyzxzzyyxxzyxAArot故由教材p.13-14的推导得利用哈密顿算子,有§1.3环量、旋度、Stokes定理29旋度运算规则:BABA)(AAA)(BAABBA)(0A)((“旋无散”)A)A(A2zzyyxxAaAaAaA2222ˆˆˆ)(2222222拉普拉辛zyx§1.3环量、旋度、Stokes定理30[证]0A)(例:证明:zyxzyxAAAzyxaaaˆˆˆA)(0)()()()](ˆ)(ˆ)(ˆ[ˆˆˆ222222zyAzxAyzAyxAxzAxyAyAxAazAxAazAyAazayaxaxyxzyzxyzxzyyzxzyx§1.3环量、旋度、Stokes定理31三、斯托克斯(Stokes)定理矢量旋度的面积分该矢量的线积分lSlsdAd)A(矢量场的旋度代表其单位面积的环量,因此旋度的面积分即为包围此面积的闭曲线上的环量:32[解]根据旋度的公式得})()(ˆ)()(ˆ)()(ˆ4///ˆˆˆ4E33333303330rxyryxzrzxrxzyryzrzyxqrzryrxzyxzyxq所以0E结论:静止点电荷产生的电场是无旋场。2/3222030)ˆˆˆ44Ezyxzzyyxxqrrq(求任意点处()电场强度的旋度0rE例1自由空间的点电荷q所产生的电场强度而5433]221)3([0)(ryzryrzrzy533)(ryzryz,§1.3环量、旋度、Stokes定理33)()()()ACACCAAC(两边同时
本文标题:矢量分析与场论基础
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