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习题七1.证明:如果f(t)满足傅里叶变换的条件,当f(t)为奇函数时,则有0dsin)()(tbtf其中0tdtsinπ2)(tfb当f(t)为偶函数时,则有0cos)()(tdwatf其中02tdtcf(t))(osa证明:因为dGtftie)(π21)(其中)(G为f(t)的傅里叶变换()()()(cossin)itGftedtfttitdt()cos()sinfttdtifttdt当f(t)为奇函数时,tcosf(t)为奇函数,从而0tdtcosf(t)tsinf(t)为偶函数,从而0.sinf(t)2tdtsinf(t)tdt故.sinf(t)2)(0tdtiG有)()(GG为奇数。dtitGdeGtfti)sin(cos)(21)(21)(=01()sind()sind2ππiGitGt所以,当f(t)为奇函数时,有002()b()sind.b()=()sindt.πfttftt其中同理,当f(t)为偶函数时,有0()()cosdftat.其中02()()cosπafttdt2.在上一题中,设()ft21,0,1ttt.计算()a的值.解:1200111220012012011200222()()cosdcosd0cosdπππ221cosdd(sin)ππ122sinsin2d0ππ2sin4(cos)π2sin4coscosπ2sin4coaftttttttttttttttttttdttttdt23s4sin3.计算函数sin,6π()0,6πttftt的傅里叶变换.解:6π6π6π6π6π02()()dsindsin(cossin)d2sinsindsin6ππ(1)ititFfftettetttittittti4.求下列函数的傅里叶变换(1)()tfte解:||(||)0(1)(1)20Ff()()ddd2dd1ittittittitifteteetetetet(2)2()tftte解:因为22222/4F[]π.()(2)2.tttteeeette而所以根据傅里叶变换的微分性质可得224π()F()2tGteei(3)2sinπ()1tftt解:222202200sinπ()F()()d1sinπ(cossin)d11[cos(π)cos(π)]sinπsin2d2d11cos(π+)cos(π-)dd()11sin,||π20,|ittGfettttitttttttititttttitittti利用留数定理当当|π.(4)41()1ftt解:4444401cossin()ddd111coscos2dd11itttGettitttttttttt令41R(z)=1z,则R(z)在上半平面有两个一级极点22(1),(1)22ii.22R()d2π[R(),(1)]2π[R(),(1)]22itiziztetiReszeiiReszei故.||/244cos1||||dRe[d](cossin)112222ittettett(5)4()1tftt解:4444()d1sincosdd11sind1ittGetttttttitttttitt同(4).利用留数在积分中的应用,令4R()=1zzz则44||/2sind()Im(d)11sin22itttteititttie.5.设函数F(t)是解析函数,而且在带形区域Im()t内有界.定义函数()LG为/2/2()()ed.LitLLGFtt证明当L时,有1p.v.()ed()2πitLGFt对所有的实数t成立.(书上有推理过程)6.求符号函数1,0sgn1,0||ttttt的傅里叶变换.解:因为1F(())π().uti把函数sgn()t与u(t)作比较.不难看出sgn()()().tutut故:11F[sgn()]F(())F(())π()[π()]π()22π()()tututiiii7.已知函数()ft的傅里叶变换00F()=π()(),求()ft解:000-100000001()F(F())=π()()d2πF(cos)=cosdd2π[()()]()cositititititftetteteeetftt而所以8.设函数f(t)的傅里叶变换()F,a为一常数.证明1[()]().fatFaa1F[()]()()d()d()ititfatfatetfateata解:当a0时,令u=at.则11F[()]()()duiafatfueuFaaa当a0时,令u=at,则1F[()]()F()fataa.故原命题成立.9.设;FFf证明FftF.证明:()ededededed.itiuiiuuitFftfuftutfufuuuftFt10.设FFf,证明:0001cos2FftFFt以及0001sin.2FftFFt证明:0000000e+ecos21ee22212ititititFftFtftFFffttFF同理:0000000eesin21ee212ititititFftFfttiFFffttiFFi11.设π0,0sin,0t200e,tttfgttt,其他计算*fgt.解:)*(dfygytfgty当tyo时,若0,t则0,fy故*fgt=0.若0,0,2tyt则00()dsind*ttyfygyeytfgtyty若,0..222ttytyt则2sind*tyteytfgyt故20,01,0sincose*221e.1e22ttttttfgtt12.设ut为单位阶跃函数,求下列函数的傅里叶变换.0esin1atftutt00000000002002esineesineeeee211edddde2d2atitatitititatitaitaitttGFtuftttiiittai解:
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