杨辉三角形与高阶等差数列

1三角形与高阶等差数列宁夏中卫中学麦兴旺一、杨辉简介杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，他在“垛积术”、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。杨辉一生留下了大量的著述，他编著的数学书共五种二十一卷。他非常重视数学教育的普及和发展，为初学者制订的习算纲目是中国数学教育史上的重要文献。杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：1111211331146412151010511615201561.....................................法国数学家巴斯加在1654年的论文中详细地讨论了这个图形的性质，所以在西方又称“巴斯加三角”二、杨辉三角的性质1、杨辉三角的产生（1）、由11的n次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。如下图：1(110)11(111)121(112)1331(113)14641(114)15101051(115)1615201561(116)……（2）、（a+b）n的展式的系数1(n=0)11(n=1)121(n=2)1331(n=3)14641(n=4)15101051(n=5)1615201561(n=6)……2、杨辉三角的性质3（a+b）r的展开式的系数排列如下1(r=0)11(r=1)121(r=2)1331(r=3)14641(r=4)15101051(r=5)1615201561(r=6)…………1c1mc2m……crm……c1mm1(r=m)…………1c11nc21n……c11rncrn1c21nn1(r=n-1)1c1nc2n……crn……c1nn1(r=n)1c11nc21nc31n……crn1……cnn11(r=n+1)1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式nba)(展开式的系数列。{crn}。2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即rnnrncC。3°结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，即crn=c11rn+crn1。4°c0n+c1n+c2n……+crn……+c1nn+cnn=2n三、杨辉三角中的高阶等差数列１、差分数列：数列相邻项的差称为数列的差分，由数列的差分所组成新数列称为差分数列如数列，如a1,a2，a3……an……的差分b1,b2，b3……bn……(bn=a1n-an)称为一阶差分数列；由b1,b2，b3……bn……差分组成数列c1,c2，c3……cn……称为二阶差分数列；……２、高阶等差数列：若一数列的r阶差分数列是常数列（它的r+1阶差分是零）则称这个数列为r阶等差数列。一阶等差数列即是我们所说的等差数列。二阶及二阶以上的等差数列通称为高阶等差数列。如1，3，4，5……，n……是一等差数列；1，3，6，10，……是二阶等差数列。３、杨辉三角中的高阶等差数列4我们先讨论杨辉三角中n为前7行时的情况。分别为每一斜行标号，如图所示：(1)1(2)n=111(3)n=2121(4)n=31331(5)n=414641(6)n=515101051n=61615201561把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6把斜行(2)中第7行之前的数字相加得1+2+3+4+5=15（一阶）把斜行(3)中第7行之前的数字相加得1+3+6+10=20（二阶）把斜行(4)中第7行之前的数字相加得1+4+10=15（三阶）把斜行(5)中第7行之前的数字相加得1+5=6（四阶）将上面得到的数字与杨辉三角中的第7行中的数字对比，我们发现它们是完全相同的。111121133114641151010511615201561由上面可猜想得到：杨辉三角中n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和.即：杨辉三角中有第i斜线的前n个数的和等于第i+1斜线的第n+1个数；1+1+1+1+……+１＝c1n；1+2+3+……+c1n=c2n;1+3+6+10+……+c2n＝c3n；1+4+10+20+……+c3n＝c4n;……crr+rr1+crr2+……+crn1=c1rn(r=1,2,3,……)(*)公式(*)为杨辉三角的首项为１的r阶等差数列求和公式。crn1为通项公式c1rn为前n项和的公式。四、一般高阶等差数列的通项公式及前n项的和5设{an}为一r阶等差数列，现给出它的通项公式和前n项和的公式；１、求r阶等差数列的通项公式设a1,a2，a3……an……为一r阶等差数列，现用逐差法求通项公式；各阶差分数列一阶b1,b2，b3……bn……(bn=a1n-an)二阶c1,c2，c3……cn……(cn=b1n-bn)三阶m1,m2，m3……mn……(mn=c1n-cn)……设di为各阶差分数列的首项，则有d1=b1=a2-a1d2=c1=b2-b1则d2=c1=b2-b1=（a3-a2）-（a2-a1）=a3-2a2+a1d3=m1=c2-c1则d3=m1=c2-c1=（b3-b2）-（b2-b1）=(a4-a3)-(a3-a2)-(a3-a2)+(a2-a1)=a4-3a3+3a2-a1由此可推定d4=a5-4a4+6a3-4a2+a1……dr=a1r-c1rar+c2ra1r-……+(-1)r+a1=常数d1r=0而a2=a1+b1=a1+d1a3=a2+b2=(a1+d1)+(b1+c1)=a1+d1+d1+d2(c1=d2)=a1+2d1+d2a4=a3+b3=(a1+2d1+d2)+(b2+c2)=(a1+2d1+d2)+(b1+c1)+(c1+m1)=a1+2d1+d2+d1+d2+d2+d3=a1+3d1+3d2+d3由此可推定a5=a1+4d1+6d2+4d3+d4……ar=a1+c11rd1+c21rd2+……+c21rrd2r+d1r所以通项公式an=a1+c11nd1+c21nd2+……+c11rnd1r+crn1dr(d1r=0)2、高阶等差数列的前n项和公式设a1,a2，a3……an……为一r阶等差数列。6现构造一r+1阶等差数列0，a1，a1+a2，a1+a2+a3，……，a1+a2+a3+……+an，……各阶差分数列一阶a1，a2，a3……an……二阶b1,b2，b3……bn……(bn=a1n-an)三阶c1,c2，c3……cn……(cn=b1n-bn)四阶m1,m2，m3……mn……(mn=c1n-cn)……设Ｄi为各阶差分数列的首项，则有Ｄ1＝a1，D2=d1，D3=d2……，D1r=dr，D2r=d1r=0由前面通项公式知a1+a2+a3+……+an是该数列的前n+1项，所以，a1+a2+a3+……+an＝0+c1nＤ1+c2nD2+……+crnDr+c1rnD1r=c1na1+c2nd1+c3nd2+……+crnd1r+c1rndr设Sn=a1+a2+a3+……+an则a1，a2，a3……an……前n项和公式为Sn＝c1na1+c2nd1+c3nd2+……+crnd1r+c1rndr(r+1n)例1、求高阶差数列1，7，25，61，121，211，……的通项公式和前n项和公式解：一阶6，18，36，60，90，……二阶12，18，24，30，……三阶6，6，6，……所以该数列是三阶等差数列a1＝1，d1＝6，d2＝12，d3＝6，d4＝0an＝6+6(n-1)+6(n-1)(n-2)+(n-1)(n-2)(n-3)=n3-n+1Sn=n+3n(n-1))+2n(n-1)(n-2)+n(n-1)(n-2)(n-3)/4检验a5＝125－5+1＝121s5=5+60+120+30=215例2、在下列数列的（）填上适当的数（这是某省招考公务员的试题）11，23，41，65，（），131，……提示该数列是一二阶等差数列例3、将Ln定义为求在一平面内用n条直线确定的最大区域数目例如n=1L1=2,进一步考虑：用n条直线放在平面上能确定的最大区域Ln是多少？（这是第五届全国青少年信息学的竞赛试题）提示L1=2，L2=4，L3=7，L4=11，L5=16，……的二阶等差数列3、高阶等差数列的通项公式和前n项和公式还有一种求法7由通项公式an=a1+c11nd1+c21nd2+……+c21rnd2r+c11rnd1r+crn1dr(rn-1)可得an是一个n的r次多项式；Sn＝c1na1+c2nd1+c3nd2+……+crnd1r+c1rndr(r+1n)是一个n的r+1次多项式。这样可用待定系数法求得。例4求数列5，17，35，59，89，……的通项公式解：一阶12，18，24，30……二阶6，6，6，……所以该数列是二阶等差数列。设an=an2+bn+cn=1a+b+c=5n=24a+2b+c=17n=39a+3b+c=35解之得a=3b=3c=-1所以an=3n2+3n-1四、在VB中输出杨辉三角形下面是打印杨辉三角形的20行VB程序：PrivateSubForm_Click()N=InputBox(,,5)ReDima(N+1,N+1),b(N+1,N+1)Clsk=8ForI=1ToNPrintString((N-I)*k/2+1,);ForJ=1ToIa(I,1)=1a(I,I)=1a(I+1,J+1)=a(I,J)+a(I,J+1)b(I,J)=Trim(Str(a(I,J)))Printb(I,J);String(k-Len(b(I,J)),);NextJPrintNextIEndSub