自动控制原理胡寿松--第7章

•学习重点了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握线性连续系统与线性离散系统的区别与联系；熟练掌握Z变换、Z变换的性质和Z反变换方法了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环系统脉冲传递函数的计算方法；掌握线性离散系统的时域分析方法第七章线性离散控制系统分析初步7.1线性离散系统的基本概念1.模拟信号（连续信号）时间上连续，幅值上也连续的信号。2.离散的模拟信号时间上离散，幅值上连续的信号。3.数字信号时间上离散，幅值上也是离散的信号；或者说，时间上离散，幅值是用一组二进制数表示的信号4.采样将模拟信号按一定时间采样成离散的模拟信号5.量化采用一组二进制数来逼近离散模拟信号的幅值，将其转化成数字信号。离散控制系统系统中既含有连续信号又含有离散模拟信号的混合系统。7.2A/D转换与采样定理及D/A转换A/D转换*()()()ftftftTk(t)(tkT)*()ft经过量化，编码后成为数字信号采样定理maxmaxmax2s采样定理：如果对一个有限频谱（-）的连续信号进行采样，当采样频率时，则由采样得到的离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号10csc采样周期的选取：原则上采样周期的选取应该保证能够复现系统所能通过的最高频率的信号，一般需要经过实验确定。对于伺服系统一般认为频率超过的信号将被滤除，因而一般选择采样周期信号的复现D/A转换()xt解码，将数字信号折算成对应的电压或电流值()xKTT2T3T保持，一般采用零阶保持器使得D/A输出信号()()(0)hxkTxKTT零阶保持器的单位冲激响应和传递函数可以表示为()1()1()hgtttT0111()TsTseHsesss拉氏变换7.3Z变换离散时间信号的等周期采样后，得到经过周期为Ttx)(0)()()(kkTtkTxtx0()()kTskXsxkTe0()()()z()[()]kkXzxkTzxtXzxt得到：称为离散时间函数－脉冲序列的变换记为：)]([)]([)()()(txtxzXztxtx变换：具有相同的冲序列与采样后得到的采样脉规定连续时间信号拉氏变换Tsze令：例7-1求1*（t）的Z变换。00121()[1()]1()1(||1)11kkFzZtkTzzzzzZzz解：(1)级数求和法2.Z变换的方法例7-2求的F(z)。ate00122011(||1)1akTkaTaTkaTaTaTFzezezezezzeZezze解：例7-3求解的Z变换。()()aFsssa111[]1()(1)()1(1)()ataTaTaTABFsssassaLFstezzzeFzzzezze解：因为而所以(2)部分分式法首先把分解为部分分式之和，然后再对每一部分分式求Z变换。()Fs例7-4求][sin)(tZzF221()221111112121122[sin]11111()2121sinsin112cosjtjTjTjTjTjjLtssjsjLesjFzzsjezjezzTzTezezzzTz解：因为所以-1-111-1(-1)!()(),(1,2,,),()[()](),lim(-)[()]()lim[(-)()sTisTiirriinnZiiZeiiiZiiiZessrdZirdsssxtXssinxzresXsRXsssRssXsRXSrRssXs已知及全部极点则当具有一阶极点时时为留数当有重极点时-]sTiZe(3)留数计算法0021()[()]22,0,1211()lim[](2-1)!2--.lim2(-)(1)issxsLxtsrsndZXZsdssTsZesTZeTsTTZZZe则例7-5试求x(t)=t的Z变换(1)线性定理112211221122[()](),[()]()[()()]()()ZftFzZftFzZftftFzFz若：，则(2)延迟定理设t0时f(t)=0，令Z[f(t)]=F(z)，则()()nZftnTzFz(3)超前定理令Z[f(t)]=F(z)，则10[()][()()]nnkkZftnTzFzfkTz3.Z变换的性质(4)复位移定理设Z[f(t)]=F(z)，则[()]()ataTZeftFze(5)初值定理设Z[f(t)]=F(z)，且当t0时，x(t)=0，则函数的初值为0(0)lim()lim()tzfftFz(6)终值定理设Z[f(t)]=F(z)，且（z-1）F(z)的全部极点位于z平面单位圆内，则函数的终值为1()lim()lim(1)()tzfftzFz(7)卷积定理112212120[()](),[()]()()()[()()]mZftFzZftFzFzFzZfmTfkTmT若：，则(1)幂级数展开法用长除法把按降幂展成幂级数，然后求得，即将展成对应原函数为()Fz()fkT101101(),mmmnnnbzbzbFznmazaza()Fz012012()Fzczczcz0122fkTctctTctT4.Z反变换(2)部分分式法把分解为部分分式，再通过查表求出原离散序列。因为Z变换表中的分子常有因子，所以通常将展成的形式，即式中系数用下式求出()Fz()Fzz()Fz1()()FzzFz12112()()iiAAAFzzFzzzzzzzziA1[()()]iiizzAFzzz(3)留数法11()()inkzzifkTresFzziz表示的第个极点。()Fz单极点重极点11[()][()()]limiikkzzizzresFzzzzFzz1111[()()]1[()](1)!limiirrkkizzrzzdzzFzzresFzzrdz()()()()()czckZGzrzrkZ输出脉冲序列的变换输入脉冲序列的变换1.脉冲传递函数的定义线性定常离散控制系统，在零初始条件下，输出序列的z变换与输入序列的z变换之比，称为该系统的脉冲传递函数（或称z传递函数）G(s)()rt*()rtT()rzc(t)C(z))(*tC7.4脉冲传递函数虚设一个采样开关G1(s)G2(s))(*tCC(t)()rtT*()rt线性离散系统的开环脉冲传函1.串联环节间无同步采样开关结论:没有采样开关隔离时两个线性环节串联,其脉冲传函为这两个环节的传函相乘之积的Z变换。可推广到n个环节。(s)(s)GG(s)C(s)(s)(s)GGC(s)**21**21rr(s)GG*21(s)(s)C**r)z(GG)]s(GG[ZG(z)21*21(z)(z)C**r*2*1()()()()()()CsGsMsMsGsrs***2****21***1()()()()()()()()()()CsGsMsCsGsGsrsMsGsrsG2(s)G1(s)TC(t)()rt*()rt)(*tcM(t)2.串联环节有同步采样开关结论:有采样开关隔离时两个线性环节串联，其脉冲传函为两个环节分别求Z变换后的乘积。可推广到n个环节。**()**()121()2()()()()()CsrsCzRzGGzGszsG结论：中间具有采样器的环节，总的脉冲传函等于各脉冲环节传函之积，而串联环节中间没有采样器时，其总的传函等于各环节相乘积后再取Z变换。--22221-1()1-122()12()())()()()(1)()()(1-)-TsTseSGsTsessGsTssGsGsTsssGsGsGsGseGsGsee零阶保持器传函G2(s)零阶保持器G1(s)C(t)()rt*()rt3.环节与零阶保持器串联时的脉冲传函22222()()()()()-112-1()[()()][-][]-[][1-][]GsGsssGsGsssGsssTGzZGzGzZZZeZzz1212-10-1011:()[()()]()[]0.11(1-)(-1)(-)TTGzZGsGsGGzZsszezze解G1(s)G2(s)例1.求右图所示的两个串联环节的脉冲传函,其中11(0.11)12(),()ssGsGs其中11()()()[][]120.11102101010-1(1)()GzGzGzZZsszzTzzzTzzee-1--1-1-(11-1-11()[](1-)[](1-)[]()-)aTaTTsaaeGZZzZzZssassaeesaazsG1(S)G2(S)例2.求图所示二环节串联的脉冲传函,G1(s)，G2(s)同上。例3.设与零阶保持器串联的环节的传函为G(s)=1/(s+a),试求脉冲传函解:解：•在分析离散系统脉冲传递函数时，应注意在闭环的各个通道以及环节之间是否有采样开关，因为有、无采样开关所得的闭环脉冲传递函数是不相同的。二.线性离散系统的闭环传函1212()()()1()GGzCzRzGGHzR(s)G1(s)H(s)G2(s)C(s)*()Cs()sY(s)-*12*12****12()()()()()()-()()()-()()()()()()()()()-()()CsGsGsssRsYssRsGsGsHssYsCsHssRsGGHs对上式采样得12()112()1()()()()zRzGGHzCzGGzz而试求右图所示系统的闭环传函H(s)D(s)G(s)R(s)X(s)C(s)()Es-*************()*1()()()()()()()()()()()-()()()-()()()()()()-()()()()RsGHCsGsXsXsDsEsXsDsEsEsRsHsCsRsHsGsDsEsEsRsGHsDsEsEs******()()()()()()sDsCsGsDsEs试求右图所示系统的闭环传函解：*****()()()*1()()()()1()()()()()GsDsRsGHsDsCzDzGzRzGHzDzCs离散系统的z传递函数线性离散系统的z传递函数的特点：1.z传递函数的形式与采样开关的个数和位置有关2.输出变量处可以设一个虚拟的采样开关3.离散拉氏变换可以提到z变换符号之外)()()]([)]()([)]()()([212121zXzGGsXsGsGsXsGsG4.若输入信号未经采样就输入到含有零点或极点的环节，则不能求出z传递函数，而只能求出输出的z变换式。注意：P.343表7-3C(s)0-11-12-1(1)1112()(1-)(1)(1)(-1)(-)TseezeGzZzZssssszze-11-1-11-1-11-11-1-112112(-1)(-)12(-1)(-)1212(-1)(-)12()()()1()1ezezZeezezzeezeezezzeezezzeCzGzRzGz01Tses1(1)ssR(s)-1T例3.试求取如图所示线性数字系统的闭环传函解:P.3827-10求系统脉冲传递函数1()Es1()Es2()Es2()Es121121()()()(