抽象代数基础-课后答案(唐忠明-著)-高等教育出版社

《抽象代数基础》答答答答解解解解题题题题习习习习于延栋编盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月第一章群论§1代数运算1.设},,,{cbaeA=,A上的乘法”“⋅的乘法表如下:····eabceeabcaaecbbbceaccbae证明:”“⋅适合结合律.证明设zyx,,为A中任意三个元素.为了证明”“⋅适合结合律,只需证明)()(zyxzyx⋅⋅=⋅⋅.下面分两种情形来阐明上式成立.I.zyx,,中至少有一个等于e.当ex=时,)()(zyxzyzyx⋅⋅=⋅=⋅⋅;当ey=时,)()(zyxzxzyx⋅⋅=⋅=⋅⋅;当ez=时,)()(zyxyxzyx⋅⋅=⋅=⋅⋅.II.zyx,,都不等于e.(I)zyx==.这时,)()(zyxexxzzezyx⋅⋅=⋅===⋅=⋅⋅.(II)zyx,,两两不等.这时,)()(zyxxxezzzyx⋅⋅=⋅==⋅=⋅⋅.(III)zyx,,中有且仅有两个相等.当yx=时,x和z是},,{cba中的两个不同元素,令u表示},,{cba中其余的那个元素.于是,zzezyx=⋅=⋅⋅)(,zuxzyx=⋅=⋅⋅)(,从而,)()(zyxzyx⋅⋅=⋅⋅.同理可知,当zy=或xz=时,都有)()(zyxzyx⋅⋅=⋅⋅.2.设”“⋅是集合A上一个适合结合律的代数运算.对于A中元素,归纳定义∏=niia1为:111aaii=∏=,1111+=+=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∏∏rriiriiaaa.证明:∏∏∏+==+==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛mnkkmjjnniiaaa111.进而证明:在不改变元素顺序的前提下,A中元素的乘积与所加括号无关.证明当1=m时,根据定义,对于任意的正整数n,等式成立.假设当rm=(1≥r)时,对于任意的正整数n,等式成立.当1+=rm时,由于”“⋅适合结合律,我们有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∏∏=+=mjjnniiaa11⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∏∏+=+=111rjjnniiaa⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=++=+=∏∏111rnrjjnniiaaa111++=+=⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=∏∏rnrjjnniiaaa∏∏∏+=++=+++===⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=mnkkrnkkrnrniiaaaa11111.所以,对于任意的正整数n和m,等式成立.考察A中任意n(1≥n)个元素naaa,,,21⋯:当3≥n时,要使记号naaa⋅⋅⋅⋯21变成有意义的记号,必需在其中添加一些括号规定运算次序.现在我们来阐明:在不改变元素顺序的前提下,无论怎样在其中添加括号,运算结果总是等于∏=niia1.事实上,当1=n或2=n时,无需加括号,我们的结论自然成立.当3=n时,由于”“⋅适合结合律,我们的结论成立.假设当rn≤(1≥r)时我们的结论成立.考察1+=rn的情形:不妨设最后一次运算是ba⋅,其中a为naaa,,,21⋯中前s(ns≤1)个元素的运算结果,b为naaa,,,21⋯中后sn−个元素的运算结果.于是,根据归纳假设,∏==sjjaa1,∏−=+=snkksab1.所以最终的运算结果为∏∏∏=−=+==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⋅niisnkkssjjaaaba111.3.设Q是有理数集.对于任意的Q,∈ba,令2baba+=⋅,证明:”“⋅是Q上的一个代数运算,它既不适合结合律也不适合交换律.证明众所周知,对于任意的Q,∈ba,Q2∈+=⋅baba.所以”“⋅是Q上的一个代数运算.令0=a,1=b,2=c.由于521212)10()(2=+=⋅=⋅⋅=⋅⋅cba,255050)21(0)(2=+=⋅=⋅⋅=⋅⋅cba,从而,)()(cbacba⋅⋅≠⋅⋅,所以”“⋅不适合结合律.由于521212=+=⋅=⋅cb,312122=+=⋅=⋅bc,.从而,bccb⋅≠⋅.所以”“⋅不适合交换律.§2群的概念1.证明:⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ZdcbadcbaG,,,关于矩阵的加法构成一个群.证明首先,众所周知,∅≠G,GBA∈+,GBA∈∀,.由于矩阵的加法适合结合律,G上的加法适合结合律.其次,令⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0000O,则GO∈,并且AOAAO=+=+,GA∈∀.最后,对于任意的GdcbaA∈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=,令⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=−dcbaA,则GA∈−且OAAAA−+−=−+)()(.所以G关于矩阵的加法构成一个群.2.令⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1001,1001,1001,1001G,证明:G关于矩阵的乘法构成一个群.证明将⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛1001记作E,并将G中其余三个矩阵分别记作CBA,,.于是,G上的乘法表如下:·EABCEEABCAAECBBBCEACCBAE由于矩阵的乘法适合结合律,G上的乘法适合结合律.从乘法表可知,XXEEX==,EXX=,GYX∈∀,.所以G关于矩阵的乘法构成一个群.3.在整数集Z中,令2−+=⋅baba,Z∈∀ba,.证明:Z关于这样的乘法构成一个群.证明对于任意的Z∈cba,,,我们有42)2()2()(−++=−+−+=⋅−+=⋅⋅cbacbacbacba,42)2()2()(−++=−−++=−+⋅=⋅⋅cbacbacbacba,从而)()(cbacba⋅⋅=⋅⋅.这就是说,该乘法适合结合律.其次,Z∈2,并且对于任意的Z∈a,我们有222222⋅=−+==−+=⋅aaaaa,aaaaaaaa⋅−=−+−=−−+=−⋅)4(2)4(2)4()4(.所以Z关于该乘法构成一个群.4.写出3S的乘法表.解)}231(),321(),32(),31(),21(),1{(3=S,3S的乘法表如下:·)1()21()31()32()321()231()1()1()21()31()32()321()231()21()21()1()231()321()32()31()31()31()321()1()231()21()32()32()32()231()321()1()31()21()321()321()31()32()21()231()1()231()231()32()21()31()1()321(5.设),(⋅G是一个群,证明:”“⋅适合消去律.证明设Gcba∈,,.若caba⋅=⋅,则ccecaacaabaabaabeb=⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=−−−−)()()()(1111.同理,若acab⋅=⋅,则cb=.这就表明,”“⋅适合消去律.6.在5S中,令⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=4513254321f,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=2543154321g.求gffg,和1−f.解我们有⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=3451254321fg,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=5214354321gf,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−45213543211f.7.设)(21kiiia⋯=,求1−a.解我们有)(11iiiakk⋯−=.8.设f是任意一个置换,证明:))()()(()(21121kkifififfiiif⋯⋯=⋅⋅−.证明事实上,易见,)(,),(),(21kififif⋯是},,2,1{n⋯中的k个不同的数字.由直接计算可知,11),())()()((1121−≤≤=⋅⋅+−kjififfiiifjjk⋯;)())()()((1121ififfiiifkk=⋅⋅−⋯.其次,对于任意的)}(,),(),({\},,2,1{21kifififni⋯⋯∈,i在121)(−⋅⋅fiiifk⋯之下的像是i本身.所以))()()(()(21121kkifififfiiif⋯⋯=⋅⋅−.9.设S是一个非空集合,”“⋅是S上的一个代数运算,若”“⋅适合结合律,则称),(⋅S是一个半群(或者称S关于”“⋅构成一个半群).证明:整数集Z关于乘法构成一个半群,但不构成一个群.证明众所周知,Z是非空集合,对于任意的Z,∈ba,总有Z∈⋅ba,并且整数乘法适合结合律,所以Z关于乘法构成一个半群.其次,令1=e.于是,对于任意的Z∈a,总有aeaae=⋅=⋅.但是,Z0∈,并且不存在Z∈b,使得eb=⋅0.所以Z关于乘法不构成一个群.10.设A是一个非空集合,S是由A的所有子集构成的集合.则集合的并”“∪是S上的一个代数运算.证明:),(∪S是一个半群.证明众所周知,对于任意的SZYX∈,,,总有)()(ZYXZYX∪∪∪∪=.这就是说,S上的代数运算”“∪适合结合律,所以),(∪S是一个半群.注请同学们考虑如下问题:设A是一个非空集合,S是由A的所有子集构成的集合.定义S上的代数运算”“∆(称为对称差)如下:)\()\(XYYXYX∪=∆,SYX∈∀,.求证:),(∆S是一个交换群.11.令⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=Z,,,dcbadcbaS.证明S关于矩阵的乘法构成一个半群.证明众所周知,对于任意的SCBA∈,,,总有SAB∈,)()(BCACAB=.这就是说,矩阵的乘法是S上的一个代数运算,并且适合结合律,所以S关于矩阵的乘法构成一个半群.12.设),(⋅S是一个半群,Se∈称为S的一个左(右)单位元,如果对于任意的Sa∈都有aae=⋅(aea=⋅).对于Sa∈,如果存在Sb∈使eab=⋅(eba=⋅),则称a左(右)可逆的,b是a的一个左(右)逆元.假设S有左(右)单位元e且S中每个元素都有关于e的左(右)逆元.证明:),(⋅S是一个群.证明设a是S中任意一个元素.任取Sb∈,使得eba=⋅.再任取Sc∈,使得ecb=⋅.于是,我们有cecbacbaeaa⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=)()(且ecbcebcebab=⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅)()(.因此abeba⋅==⋅.所以eaabaabaae⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅)()(.由以上两式可知,e是单位元,S中每个元素a都有逆元b.所以),(⋅S是一个群.对于S有左单位元e且S中每个元素都有关于e的左逆元的情形,请同学们自己证明.13．设G是一个群,证明:111)(−−−=abab,Gba∈∀,.证明对于任意的Gba∈,,我们有eaaaeaabbaabab====−−−−−−111111)())((,ebbebbbaababab====−−−−−−111111)())((.所以111)(−−−=abab,Gba∈∀,.16.设G是一个群,证明:G是交换群的充要条件是222)(baab=,Gba∈∀,.证明必要性是显然的.现在假设G满足该条件.于是,对于任意的Gba∈,,我们有222)(baab=,即aabbabab=.运用消去律(第5题)立即可得baab=.所以G是交换群.17．设G是一个群.假设对于任意的Ga∈都有ea=2,证明:G是交换群.证明我们有222)(baeeeab===,Gba∈∀,.由上题知,G是交换群.18.设G是非空集合,”“⋅是G上的一个代数运算且适合结合律.(1)证明:),(⋅G是一个群当且仅当对于任意的Gba∈,,方程bxa=⋅和bay=⋅在G中都有解.(2)假设G是有限集,证明:),(⋅G是一个群当且仅当”“⋅适合消去律.证明(1)当),(⋅G是一个群时,显然,对于任意的Gba∈,,bax⋅=−1是方程bxa=⋅的解,1−⋅=aby是方程bay=⋅的解.现在假设对于任意的Gba∈,,方程bxa=⋅,bay=⋅在G中都有解.任取Ga∈,考察方程axa=⋅.根据假设,方程axa=⋅有解Gex∈=.设b是G中任意一个元素,考察方程bay=⋅.根据假设,方程bay=⋅有解Gcy∈=.于是,我们有baceaceaceb=⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅)()(.由于Gb∈的任意性,上式表明e是半群),(⋅G的一个右单位元.再考察方程exa=⋅.根据假设,方程exa=⋅有解Gd∈.由于Ga∈的任意性,这表明G中每个元素关于右单位元e都有右逆元.所以),(⋅G是一个群.(2)当),(⋅G是一个群时,根据第5题,”“⋅适合消去律.现在假设},,,{