双曲线及其标准方程

巴西利亚大教堂北京摩天大楼法拉利主题公园花瓶罗兰导航系统原理全球卫星定位导航系统反比例函数的图像冷却塔双曲线交通结构可缓拥堵1．了解双曲线标准方程的推导过程．2．能根据条件熟练求出双曲线的标准方程．3．掌握双曲线的定义与标准方程．1、椭圆的定义和等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距的1F2F0,c0,cXYOyxM,一.复习提问：|MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）2、椭圆的两种标准方程：oF1yF1F2MxyxoF2M定义图形标准方程焦点及位置判定a,b,c之间的关系|MF1|+|MF2|=2a)0,(),0,(21cFcF焦点),0(),,0(21cFcF焦点22221(0)xyabab22221(0)yxababab0，a2=b2+c2思考问题：差等于常数的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点F1、F2的距离的一.复习提问：1、椭圆的定义和等于常数2a(2a|F1F2|)的点的轨迹.平面内与两定点F1、F2的距离的1F2F0,c0,cXYOyxM,|MF1|+|MF2|=2a（2a|F1F2|）1．了解双曲线标准方程的推导过程．2．能根据条件熟练求出双曲线的标准方程．3．掌握双曲线的定义与标准方程．观察演示过程中的变量和不变量。1、画双曲线演示实验：用拉链画双曲线观察画双曲线的过程思考问题1.在作图的过程中哪些量是定量？哪些量是不定量？2.动点在运动过程中满足什么条件？3.这个常数与|F1F2|的关系是什么？4.动点运动的轨迹是什么？5.若拉链上被固定的两点互换，则出现什么情况？①如图(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a②如图(B)，上面两条合起来叫做双曲线由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（差的绝对值）|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a根据实验及椭圆定义，你能给双曲线下定义吗？①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——焦距.oF2F1M平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.2、双曲线定义||MF1|-|MF2||=常数（小于|F1F2|）注意||MF1|-|MF2||=2a(1)距离之差的绝对值(2)常数要小于|F1F2|大于002a2c符号表示：【思考1】如何理解双曲线的定义？【剖析】“常数要小于|F1F2|且大于0”这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解．“差的绝对值”这一条件是因为当|MF1|＜|MF2|或|MF1|＞|MF2|时，点P的轨迹为双曲线的一支．而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”．【思考2】说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？（F1、F2是两定点,|F1F2|=2c(0ac)当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹；当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹；因此，在应用定义时，首先要考查.双曲线的右支双曲线的左支以F1、F2为端点的两条射线不存在2a与2c的大小线段F1F2的垂直平分线F1F2MF1F2M|MF1|－|MF2|=2a,若2a=0，动点M的是轨迹_______________________.若2a=2c，动点M的轨迹；若2a2c，动点M的轨迹.1.动点P到点M(-1,0)的距离与到点N(1,0)的距离之差为2,则点P轨迹是()A.双曲线B.双曲线的一支C.两条射线D.一条射线D当堂训练3、双曲线标准方程推导F2F1MxOy求曲线方程的步骤：以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系2.设点．设M（x,y）,则F1(-c,0),F2(c,0)3.限式|MF1|-|MF2|=±2a5.化简aycxycx2)()(2222即1.建系.4.代换代数式化简得：)()(22222222acayaxac可令：c2-a2=b2代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2)0,01:2222babyax（即其中c2=a2+b2F2F1MxOy此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？练习：写出以下双曲线的焦点坐标(二次项系数为正,焦点在相应的轴上)F(±c,0))0,0(12222babyax)0,012222babxay（F(0,±c)OxyF2F1MxOy若建系时,焦点在y轴上呢?1916)2(,191612222yxyx）（双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?定义方程焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2c最大ab0，c2=a2-b2a最大双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab共性：1、两者都是平面内动点到两定点的距离问题；2、两者的定点都是焦点；3、两者定点间的距离都是焦距。区别：椭圆是距离之和；双曲线是距离之差的绝对值。解：(1)(2)0mm12mm或1032012212mmmmmm且1.已知方程表示椭圆，则的取值范围是____________.22112xymmm若此方程表示双曲线，的取值范围？m解：当堂训练：2．“ab＜0”是方程ax2＋by2＝1表示双曲线的（）条件A．必要不充分B．充分不必要C．充要D．既不充分也不必要C22(2)33a=b=c=xy则焦点坐标为3.已知下列双曲线的方程：22(1)1a=b=c=916yx则焦点坐标为345(0,-5),(0,5)312(-2,0),(2,0)4.写出适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a=4,b=3,焦点在x轴上;(2)焦点为F1(0,-6),F2(0,6),过点M(2,-5)利用定义得2a=||MF1|－|MF2||4103(3)a=4,过点(1,)分类讨论15(4)P(-2,-3)Q(,2).3焦点在x轴上，且过，15(4)P(-2,-3)Q(,2).3变式：过，221(0,0)mxnymn由题可设双曲线的方程为：221(0)mxnymn由题可设双曲线的方程为：例：已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B，根据两圆外切的条件，|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2．根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：轨迹问题变式训练：已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的两个顶点，且3sinsinsin,5BCA求顶点A的轨迹方程。3sinsinsin,5BCA解：在△ABC中，|BC|=10，331061055ACABBC故顶点A的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的左支又因c=5，a=3，则b=41(3)916xyx22则顶点A的轨迹方程为解：由双曲线的定义知点的轨迹是双曲线.因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为所求双曲线的方程为：2223,,259165abcac2c=10由已知2a=6221916xy变2：已知,动点到、的距离之差的绝对值为6，求点的轨迹方程.12(5,0),(5,0)FFP1F2FPP22221(0,0)xyababx小结----双曲线定义及标准方程222bac定义图象方程焦点a.b.c的关系||MF1|-|MF2||=2a（０2a|F1F2|）F(±c,0)F(0,±c)12222byax12222bxayyxoF2F1MxyF2F1M