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2017-2018学年河北省石家庄市高一上学期期末考试数学试题(解析版)一、选择题(本大题共13小题,共65.0分)1.已知集合A={x2≤2x≤4},B=(0,4),则A∪B=()A.(1,4)B.(0,4)C.(0,2D.[1,22.下列两个函数是相等函数的是()A.函数𝑦=𝑥和𝑦=(√𝑥)2B.函数𝑦=𝑥和𝑦=𝑥2𝑥C.函数𝑦=ln(1−𝑥2)与𝑦=ln(1−𝑥)+ln(1+𝑥)D.函数𝑦=ln(𝑥2−1)与𝑦=ln(𝑥−1)+ln(𝑥+1)3.函数y=ex-e-x的图象为()A.B.C.D.4.函数f(x)=3x+3x-8的零点所在区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)5.已知向量𝑒1⃗⃗⃗,𝑒2⃗⃗⃗不共线,𝑎⃗⃗=𝑒1⃗⃗⃗+𝜆𝑒2⃗⃗⃗,𝑏⃗=2𝑒1⃗⃗⃗-(λ-1)𝑒2⃗⃗⃗,若𝑎⃗⃗∥𝑏⃗,则()A.𝜆=−1B.𝜆=12C.𝜆=13D.𝜆=−136.在自然界中,存在着大量的周期函数,比如声波,若两个声波随时间的变化规律分别为:y1=3sin(100πt),y2=3cos(100πt),则这两个声波合成后即y=y1+y2的振幅为()A.3B.6C.3√2D.6√27.若sin66°=m,则cos12°=()A.√1−𝑚2B.±√1−𝑚2C.√1+𝑚2D.±√1+𝑚28.如图,设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴,𝑒1⃗⃗⃗,𝑒2⃗⃗⃗分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量,若𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=x𝑒1⃗⃗⃗+y𝑒2⃗⃗⃗,则把有序数对(x,y)叫做向量𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗在坐标系xOy中的坐标假设𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2),则𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=()A.2√2B.2√3C.43√3D.43√29.在△ABC中,若sinBsinC=cos2𝐴2,则下面等式一定成立的是()A.𝐴=𝐵B.𝐴=𝐶C.𝐵=𝐶D.𝐴=𝐵=𝐶10.已知log2x=log3y=log5>0,则()A.√𝑥√𝑦3√𝑧5B.√𝑦3√𝑥√𝑧5C.√𝑧5√𝑦3√𝑥D.√𝑧5√𝑥√𝑦311.已知函数f(x)=cos(ωx-𝜋6)+ω(ω>0)的部分图象如图所示其最小值为0,则下列选项判断错误的是()A.𝑓(𝜋6−𝑥)=𝑓(𝜋6+𝑥)B.𝑓(𝑥)+𝑓(2𝜋3−𝑥)=2C.𝑓(8𝜋3)=1D.𝑀𝑁=𝜋12.[普通高中已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[0,2时,f(x)=(x-1)2,如果g(x)=f(x)-log5x,则函数y=g(x)的零点个数为()A.1B.3C.5D.713.[示范高中已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[0,2时,f(x)=2x-1-1,如果g(x)=f(x)-log3x-2,则函数y=g(x)的所有零点之和为()A.6B.8C.10D.12二、填空题(本大题共5小题,共25.0分)14.已知函数f(x)={2𝑥−1,𝑥0−𝑙𝑜𝑔2(𝑥+1),𝑥≥0,则f(f(3))=______.15.将函数y=3sin(2x+𝜋6)图象向右平移𝜋6个单位,向上平移1个单位后得到函数y=f(x)的图象,则f(x)=______.16.已知tanθ=-2,则2𝑐𝑜𝑠2𝜃2−𝑠𝑖𝑛𝜃−1√2𝑠𝑖𝑛(𝜃+𝜋4)=______.17.【普通高中】若对任意x≤2,都有(ax+2)(x2-4)≤0,则a=______.18.【示范高中】设a,b∈,若对任意x≤0,都有(ax+2)(x2+2b)≤0,则a+b=______.三、解答题(本大题共6小题,共60.0分)19.已知函数f(x)=3𝑥+12𝑥−1.(Ⅰ)求f(13),f(23),f(14),f(34)的值;(Ⅱ)当实数a≠12时,猜想f(a)+f(1-a)的值,并证明.20.已知向量𝑎⃗⃗=(2sinx,-1),𝑏⃗=(sinx,3),若函数f(x)=𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的集合.21.在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述,如果物体的初始温度是T0,经过一定时间t后,温度T将满足𝑇−𝑇𝑎=(12)𝑡ℎ(𝑇0−𝑇𝑎),其中Ta是环境温度,h称为半衰期.现有一杯用195F热水冲的速溶咖啡,放在75F的房间内,如果咖啡降到105F需要20分钟,问降温到95F需要多少分钟?(F为华氏温度单位,答案精确到0.1.参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771)22.已知函数f(x)=√3𝑐𝑜𝑠2ωx+sinωxcosωx-√32(ω>0)的最小正周期为π.(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间;(Ⅱ)若f(x)>√22,求x取值的集合.23.已知在直角坐标系xOy中,P(1,1),A(x,0)(x>0),B(0,y)(y>0)(Ⅰ)若x=14,𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗,求y的值;(Ⅱ)若△OAB的周长为2,求向量𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗与𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗的夹角.24.已知函数f(x)=ln(√𝑥2+1+mx)(m∈R).(Ⅰ)是否存在实数m,使得函数f(x)为奇函数,若存在求出m的值,若不存在,说明理由;(Ⅱ)若m为正整数,当x>0时,f(x)>lnx+1𝑚+32,求m的最小值.答案和解析1.【答案】B【解析】解:∵集合A={x2≤2x≤4}={x1≤x≤2},B=(0,4),∴A∪B=(0,4).故选:B.先分别求出集合A,B,由此能求出A∪B.本题考查并集的求法,考查并集的定义、不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.【答案】C【解析】解:A.y=x的定义域为R,的定义域为{≥0},两函数不相等;B.y=x的定义域为R,的定义域为{≠0},不相等;C.y=ln(1-x2)的定义域为(-1,1),y=ln(1-x)+ln(1+x)=ln(1-x2)的定义域为(-1,1),两函数相等;D.y=ln(x2-1)的定义域为{<-1,或x>1},y=ln(x-1)+ln(x+1)的定义域为{>1},不相等.故选:C.通过求函数定义域,即可判断A,B,D三个选项错误,从而选C.考查函数的概念,判断两函数是否相等的方法:看定义域和对应法则是否都相同.3.【答案】A【解析】解:函数y=ex-e-x=,由于函数为增函数,故也为增函数,故:函数y=ex-e-x为增函数,故选:A.直接利用函数的性质:单调性求出结果.本题考查的知识要点:函数的图象和函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.4.【答案】B【解析】解:∵函数f(x)=3x+3x-8在R上为连续增函数,又由f(1)=3+3-8<0,f(2)=9+6-8=7>0,函数f(x)=3x+3x-8的零点所在的区间为(1,2),故选:B.连续函数f(x)=3x+3x-8在R上单调递增且f(1)<0,f(2)>0,根据函数的零点的判定定理可求.本题主要考查了函数零点的定义及零点判定定理的应用,属于基础试题.5.【答案】C【解析】解:∵不共线,且;∴存在,使;即;∴;解得.故选:C.根据不共线,以及,即可得出:存在,使得,从而得出,从而得出,解出λ即可.考查共面向量基本定理,和共线向量基本定理.6.【答案】C【解析】解:∵y=y1+y2=3sin(100πt)+3cos(100πt)=3sin(100πt+)∴利用函数的性质可得函数的振幅为:3.故选:C.由两角和的正弦函数公式先求得函数解析式,直接利用函数的性质,求出函数的振幅即可.本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义,两角和的正弦函数公式的应用,属于基础题.7.【答案】C【解析】解:sin66°=m=cos24°=2cos212°-1,则cos12°=,故选:C.由题意利用诱导公式、二倍角公式,求得cos12°的值.本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用,属于基础题.8.【答案】B【解析】解:根据题意,若=(2,2),则=2+2=2(+),则2=4(2+2•+2)=12,则=2;故选:B.根据题意,由题目中向量坐标的定义可得=2+2=2(+),由数量积的计算公式可得2=4(2+2•+2)=12,变形即可得答案.本题考查向量的坐标表示以及向量模的计算,注意向量坐标表示的定义,属于基础题.9.【答案】C【解析】解:在△ABC中,∵sinBsinC=cos2=,∴2sinBsinC=-cosBcosC+sinBsinC+1,∴cosBcosC+sinBsinC=cos(B-C)=1,∵-π<B-C<π,∴B-C=0,B=C.故选:C.利用倍角公式、两角和差的余弦公式、余弦函数的单调性即可得出.本题考查了倍角公式、两角和差的余弦公式、余弦函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10.【答案】D【解析】解:∵log2x=log3y=log5>0,∴设log2x=log3y=log5=t,t>0,则x=2t,y=3t,=5t,∴==,==,==,∵()10=25t()10=32t∴<.又()6=9t,()6=8t∴<∴<.故选:D.设log2x=log3y=log5=t,t>0,则x=2t,y=3t,=5t,由此能求出结果.本题考查三个数的大小的判断,考查对数、指数的性质、运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.11.【答案】B【解析】解:函数f(x)=cos(ωx-)+ω(ω>0)的部分图象如图所示其最小值为ω-1=0,∴ω=1,∴函数f(x)=cos(x-)+1.故函数f(x)的图象关于直线x=对称,故有f()=f(+x)成立,故A对.∴f(x)+f()=cos(x-)+1+cos(-x-)+1=cos(x-)+2+sinx,故B不对.故有f()=1,故C对.∴MN====π,故D对,故选:B.根据函数f(x)=cos(ωx-)+ω(ω>0)的最值ω-1,求得ω的值,可得f(x)的解析式,再利用余弦函数的图象和性质,得出结论.本题主要考查函数f(x)=cos(ωx-)+ω(ω>0)的最值,余弦函数的图象和性质,属于中档题.12.【答案】C【解析】解:根据题意,函数g(x)=f(x)-log5x,若g(x)=f(x)-log5x=0,则有f(x)=log5x,分别作出函数y=f(x)与y=log5x的图象,分析可得:两个函数图象有5个交点,则函数y=g(x)的零点个数为5,故选:C.根据题意,分析可得若g(x)=f(x)-log5x=0,则有f(x)=log5x,分别作出函数y=f(x)与y=log5x的图象,分析两个函数图象的交点,结合函数零点的定义分析可得答案.本题考查函数零点的判断方法,注意将函数零点转化为两个函数的交点问题.13.【答案】D【解析】解:当x∈[0,2时,f(x)=2x-1-1,函数y=f(x)的周期为2,可作出函数f(x)的图象;图象关于y轴对称的偶函数y=log3x向右平移2个单位得到函数y=log3x-2,则y=h(x)=log3x-2关于x=2对称,可作出函数的图象如图所示;函数y=g(x)的零点,即为函数图象交点横坐标,当x>5时,y=log3x-2>1,此时函数图象无交点,又两函数在[2,5上有3个交点,由对称性知,它们在[-1,2上也有3个交点,且它们关于直线x=2对称,所以函数y=g(x)的所有零点之和为3×4=12.故选:D.分别作出函数y=f(x)、y=h(x)=log5x-1的图象,结合函数的对称性,即可求得结论.本题考查函数的零点应用问题,也考查了数形结合的数学思想,正确作出函数的图象是解题的关键.14.【答案】−34【解析】解:根据题意,函数f(x)=,则f(3)=-log2(3+1)=-2,f(f(3))=2-2-1=-1=-;故答案为:-.根据题意,由函数的解析式计算可得f
本文标题:2017-2018学年河北省石家庄市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
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