椭圆的第二定义

1椭圆的第二定义今天我们研究椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数（介于0与1之间）的动点M的轨迹叫做椭圆。定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的相应准线。先看例题：例：点yxM,与定点0,cF的距离和它到定直线caxl2:的距离的比是常数ac0ca，求点M的轨迹。解：设d是点M到直线l的距离，根据题意得MFcda整理得：acxcaycx222两边同时平方，并化简，得22222222caayaxca，令222bca，得轨迹的方程为12222byax0ba如图所示：归纳整理：椭圆的第二定义：平面内与一个定点0,cF的距离和它到一条定直线caxl2:的距离之比是常数(01)ceea的动点M的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。注意：①对于椭圆方程22221(0)xyabab对应于右焦点2(0)Fc，的准线称为右准线，方程为2axc2对应于左焦点1(0)Fc，的准线为左准线，方程为2axc②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。再看一个例题，加深印象例：到定点(2,0)的距离与到定直线x=8的距离之比为22的动点的轨迹方程是解：设动点(,)Mxy，则222228xyx两边平方整理得0568222xyx.注意：本题中椭圆中心不在原点。如果误认为椭圆中心在原点，而直接使用相应的a，b，c直接计算，就会产生错误。所以解决问题，要从题目条件本身出发，不能自己“创造”条件。总结：1.了解椭圆的第二定义中的各常量a，b，c，ca，2ac几何意义。认识到离心率ca在第二定义中的关键作用。2.理解椭圆第二定义，以及第一定义与第二定义的等价性。3.会用椭圆的第二定义求椭圆的轨迹方程。4.焦半径公式：例题：例1、设椭圆的方程为)0(12222babyax，线段PQ是过左焦点F且不与x轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R，使△PQR为正三角形，求离心率e的取值范围.3例2、过椭圆C：012222babyax的右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，直线L的倾斜角为60°，FBAF2。（1）求椭圆C的离心率；（2）如果415AB，求椭圆C的方程。练习：1.已知椭圆的一个焦点为F1(0,-22)，对应的准线方程为924y，且离心率e满足：24,,33e成等比数列。求椭圆方程。1.解：依题意e223，29222244acc∴a＝3，c＝2，b＝1，又F1(0，－22)，对应的准线方程为924y∴椭圆中心在原点，所求方程为22119xy2.已知：椭圆13610022yx上一点P到左焦点的距离为15，则P点到此椭圆两准线的距离分别是多少？242.解：4754511PFd4254552d3.若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,求离心率e4.离心率e=22,且两准线间的距离为4，求椭圆的标准方程。5.已知椭圆13422yx有内一点P（1，－1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|取最小值，求点M的坐标。变式：求:|MP|+|MF|的最大值和最小值.5强化练习：1.过椭圆12222byax的左焦点F1任作一条弦AB,请判断:以AB为直径的圆与左准线的位置关系.2.已知P为椭圆13422yx上的动点，则21PFPF最大值和最小值是多少？3.设椭圆12222byax（0,0ba）的右焦点为1F，右准线为1l，若过1F且垂直于x轴的弦的长等于点1F到1l的距离，则椭圆的离心率是.归纳整理：用椭圆第二定义求离心率的一般方法：首先题目中要出现椭圆上的点到焦点的距离，再利用椭圆的第二定义，列出关于,,abc的方程然后根据222bac＝－，消去b转化成关于e的方程，进而求解。4.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且2BFFD,则C的离心率为________.解：不妨设椭圆方程为22221xyab,若过D作DE垂直y轴因为BOFBED，所以有：||||2||||3OFBFDEBD，3||2DEc设D(xD,yD),得32Dxc，再根据椭圆第二定义，有2233||()22acDFecaca6根据椭圆性质，有||,||2aBFaDF，所以2322caaa，整理得223ac，所以离心率为：33e另解：不妨设椭圆方程为22221xyab,F(c,0),B(0,b),设D(xD,yD),则(,)BFcb,(,)DDFDxcy,由2BFFD，解得32Dxc,12Dyb,把点D的坐标代入方程化简得2213ca,所以33e5.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为6.如图，O为椭圆的中心,F为焦点,A为顶点,准线l交OA于B，P、Q在椭圆上,PD⊥l于D，QF⊥AO于F.设椭圆的离心率为e,则||||(1);(2);||||||||||(3);(4);(5).||||||PFQFeePDBFAOAFFOeeeBOBAAO其中正确的序号是答案：1.解：221222ADAFe2.如图所示都对7椭圆的第二定义今天我们研究椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数（介于0与1之间）的动点M的轨迹叫做椭圆。定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的相应准线。先看例题：例：点yxM,与定点0,cF的距离和它到定直线caxl2:的距离的比是常数ac0ca，求点M的轨迹。归纳整理：椭圆的第二定义：平面内与一个定点0,cF的距离和它到一条定直线caxl2:的距离之比是常数(01)ceea的动点M的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。注意：①对于椭圆方程22221(0)xyabab对应于右焦点2(0)Fc，的准线称为右准线，方程为2axc对应于左焦点1(0)Fc，的准线为左准线，方程为2axc②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。8例：到定点(2,0)的距离与到定直线x=8的距离之比为22的动点的轨迹方程是注意：本题中椭圆中心不在原点。如果误认为椭圆中心在原点，而直接使用相应的a，b，c直接计算，就会产生错误。所以解决问题，要从题目条件本身出发，不能自己“创造”条件。总结：1.了解椭圆的第二定义中的各常量a，b，c，ca，2ac几何意义。认识到离心率ca在第二定义中的关键作用。2.理解椭圆第二定义，以及第一定义与第二定义的等价性。3.会用椭圆的第二定义求椭圆的轨迹方程。4.焦半径公式：例题：例1、设椭圆的方程为)0(12222babyax，线段PQ是过左焦点F且不与x轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R，使△PQR为正三角形，求离心率e的取值范围.例2、过椭圆C：012222babyax的右焦点F的直线L与C相交于A、B两点，直线L的倾斜角为60°，FBAF2。（1）求椭圆C的离心率；（2）如果415AB，求椭圆C的方程。9练习：1.已知椭圆的一个焦点为F1(0,-22)，对应的准线方程为924y，且离心率e满足：24,,33e成等比数列。求椭圆方程。2.已知：椭圆13610022yx上一点P到左焦点的距离为15，则P点到此椭圆两准线的距离分别是多少？3.若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分,求离心率e4.离心率e=22,且两准线间的距离为4，求椭圆的标准方程。5.已知椭圆13422yx有内一点P（1，－1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|取最小值，求点M的坐标。10变式：求:|MP|+|MF|的最大值和最小值.强化练习：1.过椭圆12222byax的左焦点F1任作一条弦AB,请判断:以AB为直径的圆与左准线的位置关系.2.已知P为椭圆13422yx上的动点，则21PFPF最大值和最小值是多少？3.设椭圆12222byax（0,0ba）的右焦点为1F，右准线为1l，若过1F且垂直于x轴的弦的长等于点1F到1l的距离，则椭圆的离心率是.4.已知F是椭圆C的一个焦点,B是短轴的一个端点,线段BF的延长线交C于点D,且2BFFD,则C的离心率为________.5.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为116.如图，O为椭圆的中心,F为焦点,A为顶点,准线l交OA于B，P、Q在椭圆上,PD⊥l于D，QF⊥AO于F.设椭圆的离心率为e,则||||(1);(2);||||||||||(3);(4);(5).||||||PFQFeePDBFAOAFFOeeeBOBAAO其中正确的序号是