求二次函数解析式的常用方法

1求二次函数解析式的常用方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。一、二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。2、顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。二、求二次函数解析式的方法.求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。三、探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(和)1,1(．求这个二次函数的解析式．分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax2+bx+c(a≠0)。解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)依题意得：145cbaccba解这个方程组得：432cba∴这个二次函数的解析式为y=2x2+3x－4。例2、已知抛物线cbxaxy2的顶点坐标为)1,4(，与y轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。分析：此题给出抛物线cbxaxy2的顶点坐标为)1,4(，最好抛开题目给出的cbxaxy2，重新设顶点式y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x－4)2－1(a≠0)又抛物线与y轴交于点)3,0(。∴a(0－4)2－1=3∴a=41∴这个二次函数的解析式为y=41(x－4)2－1，即y=41x2－2x+3。例3已知A（2，0），B（－1，0），C（1，－3）三个点在抛物线上，求二次函数的解析式．分析：由A、B两点的纵坐标为0知，这两点是抛物线与x轴的交点．解设二次函数的解析式为),xx)(xx(ay21).1x)(2x(ay,1x,2x21得代入把再把点C（1，-3）的坐标代入，得－3＝a（1－2）（1＋1），.23a解得).1x)(2x(23y故所求解析式为点评：上述3个例题均可采用二次函数的一般式求解．练习1：1、已知抛物线经过A（0，4），B（1，3）和C（2，6）三点，求二次函数的解析式．.4x3x2y2故所求函数解析式为2、已知抛物线经过三点A(2,-6),B(3,-8),C(6,10),求它的解析式。y=2x2－12x+103、已知抛物线过A（－2，0）、B（1，0）、C（0，2）三点。求这条抛物线的解析式。）y=－(x+2)(x－1)，即y=－x2－x+2。4、已知二次函数的图象顶点为（2，3），且经过点（3，1），求这个二次函数的解析式．.3)2x(2y2式为故所求二次函数的解析5、已知抛物线的顶点坐标为A(2,8),且经过点B(5,—1),求抛物线的解析式。y=—x2+4x+46、已知二次函数的图象与X轴交于A(－3,0),B(1,0),且经过点C(2,5),求抛物线的解析式.y=x2＋2x＋27、已知抛物线的顶点坐标为)1,2(，与y轴交于点)5,0(，求这条抛物线的解析式。y=(x－2)2+1，即y=x2－4x+5。2四、发散思维，提升能力例4已知二次函数的图象经过点A（3，—2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式．思路启迪一已知对称轴是直线x＝3，因对称轴经过顶点，所以这是与顶点有关的问题．.h3)-a(xy12设二次函数的解析式为规范解法把A（3，－2），b（1，0）两点的坐标代入，得.2h,21a.0h)31(a,2h)33(a22解得.2)3x(21y2故所求解析式为思路启迪二由对称轴是直线x＝3，且点A的横坐标是3，知点A（3，—2）是抛物线的顶点，可设解析式为顶点式．23)-a(xy22设二次函数的解析式为规范解法21a,02)31(a,)0,1(B2解得得的坐标代入把点.2)3x(21y2故所求解析式为思路启迪三由对称轴是直线x＝3，可得关于a、b的一个方程.3a2b又知图象经过两定点，可设解析式为一般式。思路启迪四由点B（1，0）的纵坐标是0知，它是抛物线与x轴的交点，若能求出抛物线与x轴的另一个交点，即点B关于对称轴x＝3的对称点．则可设解析式为交点式．思路启迪五同解法4得到B′（5，0），就具备了图象过三个定点，可设其解析式为一般式．点评：例4各解法中以解法2最佳．它体现在对点A（3，—2）是所求抛物线的顶点这一隐含条件挖掘得好．因此，我们在解题过程中既要学会一题多思，一题多解，拓开思路；更要注意寻求合理的解题途径，选好突破口．注本题还可直接把A、B、B′三点坐标代入所设一般式，求a、b、c的值．例5已知二次函数的图象经过25,0A和)6,1(B两点，且图象与x轴的两个交点间的距离为4．求二次函数的解析式．思路启迪已知抛物线与x轴的两个交点间的距离，不知道它的对称轴，情况就比上述问题要复杂得多．利用A、B两点的坐标可以确定两个方程，即.6cba25c和根据待定系数法的要求，必须设法找到第三个方程，才能利用二次函数的一般式求得a、b、c的值．规范解法1因为抛物线与x轴交点的横坐标是一元二次方程0cbxax2的两个根.x,x21方程的求根公式为,a2ac4bbx22,1.4|xx|21可列方程即.4a2ac4bba2ac4bb22.4aac4b2化简得。两边平方，得.16422aacb.a16ac4b22.,0cba25c得方程组即可求解联立和把这个方程与程规范解法2根据一元二次方程根与系数的关系，,16xx,abxx2121,16)xx(,,4|xx|22121得两边平方把.16xx4)xx(21221即.a16ac4b,acxx,abxx222121得代入并整理把点评：以上变形方法应熟练掌握，它们对解决“已知抛物线与x轴的两个交点间的距离，求二次函数解析式”的问题大有益处．练习2：1、已知抛物线经过两点A(—1,—3),B(1,5),且对称轴是直线x=2,求抛物线的解析式.y=—x2+4x+2已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值为2，求二次函数的解析式。二次函数y=ax2+4ax+c的最大值为4，且图象经过点（-3，0），求二次函数的解析式。2、已知二次函数的顶点坐标为（3，－2），并且图象与x轴两交点间的距离为4．求二次函数的解析式．.25x3x21y23例6：如图,抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴的负半轴上,点C在y轴上,且AC=BC．求抛物线的解析式.例7：直线y=-x-1与抛物线y=ax2+4ax+b交于x轴上A点和另一点D，抛物线交y轴于C点，且CD∥x轴，求抛物线解析式解：如图，∵直线y=-x-1交于x轴上A点，∴A（-1，0），∵抛物线y=ax2+4ax+b交于x轴上A点，∴a-4a+b=0，∴b=3a，由抛物线y=ax2+4ax+b可知C（0，b），∵CD∥x轴，∴D的纵坐标为b，∵点D在直线y=-x-1上，∴x=-b-1，∴D（-b-1，b），∵直线y=-x-1与抛物线y=ax2+4ax+b交于点D,∴b=a（-b-1）2+4a（-b-1）+b，∴a（-3a-1）2+4a（-3a-1）=0，即：a（-3a+3a）（-3a-1）=0，解得：a=0（舍去）或a=1或a=-1/3，∴抛物线解析式为y=x2+4x+3或y=-1/3x2-3/4x-1．例8、如图，已知两点A（－8，0），（2，0），以AB为直径的半圆与y轴正半轴交于点C。求经过A、B、C三点的抛物线的解析式。分析：A、B两点实际上是抛物线与x轴的交点，所以可设交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x+8)(x－2)又连结AC、BC，利用射影定理或相交弦定理的推论易得：OC2=AC·BC=8×2∴OC=4即C(0,4)。∴a(0+8)(0－2)=4∴a=41∴这个二次函数的解析式为y=41(x+8)(x－2)，即y=41x2－23x+4。例9、如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交与A、B两点,与y轴交与C点,且AC=20,BC=15,∠ACB=90°,求这个二次函数的解析式.解：在Rt△ABC中AB=22BCAC=221520=25∵S△ABC=21AC×BC=21AB×OC,∴OC=ABBCAC=251520=12∵AC2=AC×AB∴OA=ABAC2=25202=16∴OB=AB—OA=9从而得A(—16,0),B(9,0),C(0,12),于是可得函数解析式为y=—121x2—127x＋124例10：已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），∴可设抛物线解析式为。把C（0，－3）代入得：3a=－3，解得：a=－1。∴抛物线解析式为，即。∵，∴顶点坐标为（2，1）。（2）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=﹣x2，平移后抛物线的顶点为（0，0）落在直线y=－x上。例11：将抛物线c1：y=-√3x2+√3沿x轴翻折,得抛物线c2。（1）请直接写出抛物线c2的关系式；（2）现将抛物线C1向左平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A,B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为N,与x轴交点从左到右依次为D,E．①当B,D是线段AE的三等分点时,求m的值；②在平移过程中,是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形?解：（1）y=√3x²-√3（2）①令-√3x²+√3=0x=±1所以C1与x轴的两个交点为（-1,0）,（1,0）∴A（-1-m,0）B（1-m,0）同理：D（-1+m,0）E（1+m,0）当AD=1/3AE时,（-1+m）-（-1-m）=1/3[(1+m)-(-1-m)]m=1/2当AB=1/3AE时,(1-m)-(-1-m)=1/3[(1+m)-(-1-m)]m=2当m=1/2或2时,B、D是线段AE的三等分点②连结AN、NE、EM、MA,由题意得M(-m,√3),N（m,-√3）即M,N关于原点对称,∴OM=ON∵A（-1-m,0）,E（1+m,0）∴A,E关于原点O对称,∴OA=OE,∴四边形ANEM为平行四边形.要使平行四边形ANEM为矩形,必需满足OM=OA,即m²+（√3）²=（-1-m）²∴.m=1.∴当m=1时,以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形.例12：将抛物线Y=2x2-4x-1沿直线x=-1翻折得到的抛物线解析式为解：Y=2x²-4x-1=2[(x²-2x+1)-1]-1=2[(x-1)²-1]-1=2(x-1)²-2-1=2(x-1)²-3此抛物线的顶点是（1,-3）将它沿直线x=-1翻折,则顶点变为（-3,-3）,但抛物线的开口方向和开口的大小不变,则所得的抛物线的解析式是：y=2(x+3)²-3=2x²+12x+15.例14：把抛物线y=-x2+x沿x轴向右平移1个单位后，再沿x轴翻折得到抛物线C1称为第一次操作，把抛物线C1沿x轴向右平移1个单位后，再沿x轴翻折得到抛物线C2称为第二次操作，…，以此类推，则抛物