2019研究生数学考试数三真题

2019年全国硕士研究生入学统一考试（数学三）试题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1.当0x时，若tanxx与kx是同阶无穷小，则k（）（A）1（B）2（C）3（D）42.已知方程550xxk有3个不同的实根，则k的取值范围是（）（A）)4,(（B）),4(（C）)4,4(（D）），44(3.已知微分方程xcebyyay的通解为xeexCCyx)(21，则a，b，c依次为（）（A）1,0,1（B）1,0,2（C）2,1,3（D）2,1,44.若1nnun绝对收敛，1nnvn条件收敛，则（）（A）1nnnvu绝对收敛（B）1nnnvu绝对收敛（C）1nnnvu收敛（D）1nnnvu发散5.设A是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，则)(*Ar（）（A）0（B）1（C）2（D）36.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵，若EAA22，且4A，则二次型AxxT的规范形为（）（A）222123yyy（B）232221yyy（C）232221yyy（D）232221yyy7.设A，B为随机事件，则P(A)=P(B)的充分必要条件是（）（A）()()()PABPAPB（B）)()()(BPAPABP（C）)()(ABPBAP（D）)()(ABPABP8.设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布),(2N，则}1-P{＜YX（）（A）与μ无关，与σ2有关（B）与μ有关，与σ2无关（C）与μ、σ2都有关（D）与μ、σ2都无关二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。9.111lim()1223(1)nnnn。10.曲线)232(cos2sin＜＜xxxxy的拐点坐标为。11.已知函数dttxfx141)(，则102)(dxxfx。12.以PA,PB分别表示A,B两个商品的价格，设商品A的需求函数222500BBAAPPPPQA，则当PA=10,PB=20时，商品A的需求量对自身价格弹性)0(＞AAAA为。13.已知矩阵.101101111012abaA，若线性方程组Ax=b有无穷多解，则a=。14.设随机变量X的概率密度为，其他＜＜,020,2)(xxxfF(X)为X的分布函数，EX为X的数学期望，则}1)({EXXFP＞。三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分10分）已知函数，＞0,1,0,)(2xxexxxfxx求)(xf，并求)(xf的极值。16.（本题满分10分）设函数),(vuf具有2阶连续偏导数，函数),(),(yxyxfxyyxg，求22222.gggxxyy17.（本题满分10分）设函数)(xy是微分方程2221xexxyy满足条件ey)1(的特解。（1）求)(xy；（2）设平面区域)}(0,21),{(xyyxyxD，求D绕x轴旋转所得旋转体的体积。18.（本题满分10分）求曲线)0(sinxxeyx与x轴之间图形的面积。【19.（本题满分10分）设)2,1,0(1210ndxxxann（1）证明：数列na单调减少，且；),3,2(212nannann（2）求.lim1nnnaa20.（本题满分11分）已知向量组2123=(1,1,4),(1,0,4),(1,2,3)TTTIa：TT2T123=(1,1,a+3),=(0,2,1-a),=(1,3,a+3)II：若向量组Ⅰ与向量组Ⅱ等价，求a的取值，并将β3用α1,α2,α3线性表示。21.（本题满分11分）已知矩阵22122002Ax与21001000By相似（1）求x,y；（2）求可逆矩阵P，使得1.PAPB22.（本题满分11分）设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为(1),(1)1(01).PYpPYpp＜＜令ZXY（1）求Z的概率密度；（2）p为何值时，X与Z不相关；（3）X与Z是否相互独立；23.（本题满分11分）设总体X的概率密度为2(;)Afxe22()2,0,xxx＜，其中是已知参数，0＞是未知参数，A是常数，12,,,nXXX是来自总体X的简单随机样本。（1）求A；（2）求2的最大似然估计量。