正余弦定理知识点总结及高考考试题型

-1-一、知识点（一）正弦定理：2,sinsinsinabcRABC其中R是三角形外接圆半径.a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（二）余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC由此可得：222222222cos,cos,cos.222bcaacbabcABCabacab.注：2a＞22cbA是钝角；2a=22cbA是直角；2a＜22cbA是锐角；（三）三角形面积公式：（1）111sinsinsin.222ABCSabCbcAacB二、例题讲解（一）求边的问题1、在△ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，3A,3,1ab，则c（）A、1B、2C、31D、32、在△ABC中，,,abc分别为,,ABC的对边.如果,,abc成等差数列，B30°，△ABC的面积为23，那么b（）A、132B、31C、232D、323、在△ABC中，角,,ABC所对的边长分别为,,abc，若C120°，2ca，则（）A、abB、abC、abD、a与b的大小关系不能确定4、在△ABC中，10a，B60°,C45°,则c等于（）A、310B、1310C、13D、3105、若△ABC的周长等于20，面积是310，=A60°，则BC边的长是（）A、5B、6C、7D、86、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（）A、51xB、135xC、50xD、513x-2-7、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程25760xx的根，则三角形的另一边长为（）A、52B、213C、16D、48、若ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足22ab4（）c，且C=60°，则ab的值为（A）43（B）843(C)1(D)239、在△ABC中，A60°，C45°，2b，则此三角形的最小边长为。10、在△ABC中,1,1ab,C120°则c。11、在ABC中.若b=5，4B，sinA=13，则a___________________.12、若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于13、如图，在△ABC中，若1,3bc，23C，则a。14、在△ABC中，若::1:2:3ABC,则cba::15、在△ABC中，Bca,2,33150°，则b（二）求角的问题1、ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，若,,abc成等比数列，且2ca，则cosB（）A、14B、34C、24D、232、在△ABC中，A60°，43,42ab，则B等于（）A、45°或135°B、135°C、45°D、以上答案都不对3、在ABC中，15,10,abA60°，则cosB=（）A、－223B、223C、－63D、634、在△ABC中，3a，7b，2c，那么B等于（）A、30°B、45°C、60°D、120°5、在△ABC中，23a，22b，B45°，则A等于（）A、30°B、60°C、60°或120°D、30°或150°6、在△ABC中，已知bccba222，则A为（）CAB1323-3-A、3B、6C、32D、3或327、已知△ABC的面积为23，且3,2cb，则A等于（）A、30°B、30°或150°C、60°D、60°或120°8、已知在△ABC中,sin:sin:sin3:2:4ABC,那么cosC的值为（）A、14B、14C、23D、239、在△ABC中，sinsinAB是AB的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件10、若△ABC的内角，,,ABC满足6sin4sin3sinABC，则cosBA．154B．34C．31516D．111611、在ABC中，角,,ABC所对的边分,,abc．若cossinaAbB，则2sincoscosAABA．-12B．12C．-1D．112、已知在△ABC中，10,56,abA45°,则B。13、在△ABC中，3,3bc,B30°，则A。14、已知,,abc分别是△ABC的三个内角,,ABC所对的边，若1,3ab，2ACB,则sinC。15、在△ABC中，6:5:4::baaccb，则△ABC的最大内角的度数是16、已知3abcbcabc，则A17、在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，若2a，2b，sincos2BB,则角A的大小为.-4-（三）判断三角形形状的问题1、在△ABC中，若CcBbAacoscoscos，则△ABC是（）A、直角三角形B、等边三角形C、钝角三角形D、等腰直角三角形2、在ABC中，已知CBAsincossin2，那么ABC一定是（）A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、正三角形3、△ABC中，2cosabC，则此三角形一定是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形4、在△ABC中，若BbAacoscos，则△ABC的形状是（）A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰直角三角形D、等腰或直角三角形5、在△ABC中，若cCbBaAsincoscos，则△ABC是（）A、有一内角为30°的直角三角形B、等腰直角三角形C、有一内角为30°的等腰三角形D、等边三角形6、在△ABC中，coscosbAaB，则三角形为（）A、直角三角形B、锐角三角形C、等腰三角形D、等边三角形7、在△ABC中，已知B30°,503b,150c，那么这个三角形是（）A、等边三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等腰三角形或直角三角形8、△ABC中，222sinsinsinABC，则△ABC为（）A、直角三角形B、等腰直角三角形C、等边三角形D、等腰三角形9、已知关于x的方程22coscos2sin02CxxAB的两根之和等于两根之积的一半，则ABC一定是（）A、直角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、等边三角形10、△ABC中，tansintansinAABB，则三角形为。-5-（四）三角形的面积的问题1、在△ABC中，3AB,1AC,30A，则△ABC面积为（）A、23B、43C、23或3D、43或232、已知△ABC的三边长6,5,3cba，则△ABC的面积为（）A、14B、142C、15D、1523、在△ABC中，10sina°，50sinb°，=C70°，那么△ABC的面积为（）A、641B、321C、161D、814、在△ABC中，2a，A30°,C45°，则△ABC的面积ABCS等于（）A、2B、22C、31D、1(31)25、ABC中，120,7,5BACAB，则ABC的面积为_________．6、已知ABC的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_______________(五)综合应用1、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若sinA＋π6＝2cosA,求A的值；(2)若cosA＝13，b＝3c，求sinC的值．2、在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且Acasin23(Ⅰ)确定角C的大小：（Ⅱ）若c＝7,且△ABC的面积为233,求a＋b的值。3、设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝14.(1)求△ABC的周长；(2)求cos(A－C)的值．-6-4.在ABC中，ACACBCsin2sin,3,5（Ⅰ）求AB的值。（Ⅱ）求)42sin(A的值。5、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.(1)求B；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.6、在ABC中，AB、为锐角，角ABC、、所对的边分别为abc、、，且510sin,sin510AB（I）求AB的值；（II）若21ab，求abc、、的值。w.w.w.k.s.-7-解三角形复习一、知识点（一）正弦定理：2,sinsinsinabcRABC其中R是三角形外接圆半径.a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（二）余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC由此可得：222222222cos,cos,cos.222bcaacbabcABCabacab注：2a＞22cbA是钝角；2a=22cbA是直角；2a＜22cbA是锐角；（三）三角形面积公式：（1）111sinsinsin.222ABCSabCbcAacB题型一：正余弦定理的基本应用：（四种题型：）（1）已知两角一边用正弦定理；（2）已经两边及一边对角用正弦定理；（3）已知两边及两边的夹角用余弦定理；（4）已知三边用余弦定理例1、在ABC中，已知30,20Aa45C求cbB,,例2．已知下列各三角形中的两边及一角，判断三角形是否有解，并作出解答（1）30,6,32Aba（2）45,2,2Aba（3）120,3,5Aba（4）60,4,3Aba例3．（1）在ABC中，已知bcacb222，则A=；（2）若△ABC的周长等于20，面积是310，=A60°，则边BC=（3）、已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是=（4）在△ABC中，已知bccba222，则A=-8-题型二：判断三角形的形状例4．（1）在ABC中，若Cabcos试判断ABC的形状。（2）在ABC中，若BbAacoscos试判断ABC的形状。（3）在ABC中，若AbBacoscos试判断ABC的形状。例5．（1）在ABC中，已知bcacb222，且43sinsinCB，判断三角形的形状；（2）在ABC中，bcacbcba3))((且CBAcossin2sin，判断其形状；题型三：三角形的面积的问题例6、（1）已知中，，,求、、及外接圆的半径。（2）在△ABC中，已知2sincossin()BAAC．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若2BC，△ABC的面积是3，求AB．题型四、正余弦定理的综合应用1、在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,,3abcB，4cos,35Ab.k.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）求ABC的面积2、设ABC△的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且acosB=3，bsinA=4．（Ⅰ）求边长a；（Ⅱ）若ABC△的面积10S，求ABC△的周长l．5.u.c.o.m