小学六年级奥数-第十八章-圆的周长和面积

第十八章圆的周长和面积知识要点如右图所示，当一条线段OA绕着固定端点O在平面内旋转一周，它的另一端点A在平面内画出了一条封闭的曲线，这条封闭的曲线叫做圆。围成圆的曲线叫做圆周，线段OA叫做圆的半径，通常用r或R表示。O点是这个圆的圆心。在同一个圆中，所有的半径都相等。通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆内，所有直径都相等，且等于半径的2倍。圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。无论什么圆，它的周长除以直径的商是一个固定的数，这个数叫圆周率，用表示。如果用C表示圆周的长度，d表示这个圆的直径，那么，＝Cd。是一个无限不循环小数：＝3.14159265358979323846…圆的周长：C＝2r或C＝d圆的面积：S＝r2＝(2d)2＝(2C)2＝24C扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。如果扇形的圆心角是n，那么当圆周长C＝2r时，扇形的弧长计算方法：L＝360n×2r＝180n×r例1(第五届“希望杯”邀请赛试题)如图，ABCD是边长为10厘米的正方形，且AB是半圆的直径，则阴影部分的面积是平方厘米。(取3.14)点拨过E点作AB的垂线，垂足为O，因为∠CAB＝45°，所以点O是半圆的圆心，则阴影部分的面积等于梯形OECB的面积，减去圆O面积的14。解过E点作AB的垂线，垂足为0。∵∠CAB＝45°，∴点0是半圆的圆心。则S阴影＝S梯形OECB－14S⊙O＝(5＋10)×5÷2－×52＝17.875(平方厘米)例2将半径分别是4厘米和3厘米的两个半圆，如图放置。求阴影部分的周长。点拨阴影部分的周长为小半圆的弧长加上大半圆的弧长，再加两条线段的长。两个半圆的半径分别为4厘米和3厘米；两条线段分别是4厘米和3×2－4＝2(厘米)。解(1)两个半圆的弧长是：2×3.14×4÷2＋2×3.14×3÷2＝12.56＋9.42＝21.98(厘米)(2)两条线段的长：4＋(3×2－4)＝6(厘米)(3)阴影部分的周长为：21.98＋6＝27.98(厘米)答：阴影部分的周长是29.98厘米。例3直径均为1分米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起，如下图。试求金属带的长度和阴影部分的面积。点拨要想求金属带的长度，我们必须把它分成8个部分来观察，金属带的长度正好是管子直径的4倍和一根管子圆周长度的总和。中心阴影部分的面积等于中间正方形的面积减去一个圆的面积，其中正方形的边长等于直径。解金属带的长度：1×4＋3.14×1＝7.14(分米)阴影面积：1×1－3.14×(12)2＝1－0.785＝0.215(平方分米)答：金属带的长度为7.14分米，阴影部分的面积为0.215平方分米。说明我们在计算比较复杂的周长和面积时，要善于把这个圆形分解再重新组合，这样才会看得清楚明白。例4如图，圆的周长是12.56厘米，圆的面积是长方形面积的25，求阴影部分的周长。点拨阴影部分的周长是半圆的弧长，加上两条长方形的长和一条宽。已知圆的周长，容易求出半径，再求出圆的面积。求出圆的面积，就可以求出长方形的面积，长方形的宽就是圆的直径，从而可以求出长方形的长，这样就可以求出阴影部分的周长了。解半圆的弧长：12.56÷2＝6.28(厘米)长方形的面积：3.14×(12.56÷3.14÷2)2÷25＝3.14×4÷25＝31.4(平方厘米)长方形的长：31.4÷(12.56÷3.14)＝7.85(厘米)阴影部分的周长：6.28＋7.85×2＋12.56÷3.14＝6.28＋15.7＋4＝25.98(厘米)答：阴影部分的周长为25.96厘米。例5如右图，半圆的半径为15厘米，∠AOB＝90°，∠COD＝120°，CD＝26厘米，半圆中阴影部分的面积是多少平方厘米？点拨本题是一道比较复杂的问题，需要引辅助线和求扇形面积等方面的知识。解三角形COD的面积：过点O作CD的垂线交互AB于F，交CD于E，连接DF，因为∠FOD＝60°，则△DFO是正三角形。DE为△DFO的对称轴，所以FE＝EO＝7.5(厘米)。则三角形COD的面积为：26×7.5×12＝97.5(平方厘米)圆心角为120°的扇形的面积：23.1415360×120＝2253.143＝75×3.14＝235.5(平方厘米)由弦CD和弧CD围成的弓形面积：235.5－97.5＝138(平方厘米)圆心角为90°的扇形面积：23.1415360×90＝176.625(平方厘米)三角形AOB的面积：15×15×12＝112.5(平方厘米)由弦AB和弧AB围成的弓形的面积：176.625－112.5＝64.125(平方厘米)阴影部分的面积：138－64.125＝73.875(平方厘米)答：阴影部分的面积是73.875平方厘米。例6如图，在半径AB为20厘米，圆心角为45°的扇形中，以半径AB的中点O为圆心，以OA为半径画一个半圆，交BC于D。求阴影部分的面积。点拨图中阴影部分看似两个毫不相干的图形，但如果我们连接AD就会发现：弓形BD和弓形AD的面积相等，如果用圆心角45°的扇形面积减去中间等腰直角三角形的面积，就可以求出两个阴影部分的面积的和。解圆心角45°的扇形的面积：23.1420360×45＝157(平方厘米)等腰直角三角形ADB的面积：20×(20÷2)÷2＝100(平方厘米)阴影部分的面积：157－100＝57(平方厘米)答：阴影部分的面积是57平方厘米。说明在求两块或两块以上阴影部分的面积时，有时也把这几块合在一起求。例7如右图所示，大圆的直径是4厘米，黑色面积大还是阴影面积大？是黑色部分周长大，还是阴影部分的周长大？并求出各自的面积。点拨大圆面积＝×(42)2＝4(平方厘米)，4个小圆面积＝×(44)2×4＝4(平方厘米)，由此我们可以看出，黑色部分面积之和正好等于四个小圆互相重叠的部分面积之和，所以这两部分的面积应相等。黑色部分的周长应该等于大圆周长再加上8个14的小圆周长，而阴影部分的周长恰好等于8个14小圆的周长，所以黑色部分的周长大于阴影部分的周长。解S大圆＝×(42)2＝4(平方厘米)S小圆＝×(44)2＝(平方厘米)S阴＝8×(14－1×1÷2)＝2－4(平方厘米)＝2.28(平方厘米)S黑＝S大圆－(4S小圆－S阴)＝4－(4－2.28)＝2.28(平方厘米)S阴＝S黑C大圆＝×4＝4C小圆＝×2＝2C黑＝4＋8×14×2＝8C阴＝8×14×2C黑＞C阴解题技巧计算周长时，首先要分清围成这一图形的边有哪些，再正确计算。计算组合图形的面积，有很多图形都是不规则的，很难直接用公式计算出它们的面积，必须将组合图形进行分解，看清组合图形是由哪几个基本图形合并起来的，或是从哪一个基本图形里去掉哪一个或几个基本图形得到的。有时需要把其中的部分图形进行平移、翻转、添加辅助线、割补、等积变形等方法，化难为易，这需要精巧的构思和恰当的解题策略，从而提高自己的形象思维和抽象思维能力。竞赛能级训练A级1.(第十一届“华罗庚金杯”邀请赛试题)如下左图，圆O中直径AB与CD互相垂直，AB＝10厘米，CA＝50厘米。以C为圆心，CA为半径画弧AEB。求月牙ADBEA(阴影部分)的面积。2.(第五届“希望杯”邀请赛试题)如上右图，大圆直径上的黑点是五等分点，则A、B、C三部分的面积比为。3.如下左图所示，正方形的边长为10厘米，在正方形中画了两个四分之一圆，试求图中阴影面积。4.如上右图，三角形ABC是直角三角形，阴影工的面积比阴影Ⅱ的面积小23平方厘米。问BC的长度是多少厘米？(取3)5.如下左图，直径AB为3厘米的半圆，绕A逆时针旋转60°，使AB到达AC位置。求图中阴影部分的周长。6.上右图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是多少厘米？7.如下左图所示，正方形的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积。8.如上右图所示，小明从家到学校有三条由半圆弧组成的路可以走，怎么走近？为什么？9.有一个长方形如下左图所示位置，在桌子上不滑动地每秒钟转动90°。试回答下列问题：(1)如果长方形AB＝3厘米，AD＝4厘米，AC＝BD＝5厘米。把长方形转动一周后，顶点A所经过的痕迹的长是多少厘米？(2)13秒以后，长方形B点离A点开始位置的水平距离是多少厘米？10.如上右图所示，已知扇形的弧长为12.56厘米。求阴影部分的面积。11.右图是400米跑道的示意图，两头是两个半圆，每一个半圆的弧长是100米；中间是直线，长为100米。求两个半圆的面积之和与跑道所围成的面积之比。12.求下图中阴影部分的面积。(单位：厘米)B级1.将边长为1的正三角形放在一条直线上(如下左图)，让三角形绕顶点C顺时针转动到位置2，再继续这样转到3的位置。求A点走过的痕迹的长度。2.上右图中的三角板(等腰直角)、正方形纸板、圆形纸板的面积都是40cm2，阴影部分的面积总和是30cm2，三张纸板盖住的面积总和是70cm2。求三张纸板重叠部分A的面积。3.下左图是＝座古钟的示意图，有白、黄、蓝三部分。试问白色部分的面积与蓝色扇形的面积谁更大一些？为什么？4.上右图中正方形的周长是圆环周长的3倍。当圆环形绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，这个圆环转了几圈？5.在右图中，直角三角形ABC的斜边AC长20厘米，∠A＝30°，以C点为固定点将直角三角形顺时针旋转使斜边AC与短边BC成一直线。求图中阴影部分的面积。6.已知下左图中半圆直径为10厘米，求图中阴影部分的面积。7.在上右图中，AB长8cm，OB长5cm，求阴影部分的面积。8.求下左图中阴影部分的面积。(圆的半径r＝4厘米)9.如上右图，在每边长为10厘米的正方形ABCD中，有以BC边为半径的14圆和以CD为直径的半圆。求阴影部分的面积。10.如下左图，三角形ABC是边长为24厘米的正三角形，阴影部分是以每边长为直径画半圆时出现的如图所示的几何图形。求阴影部分的面积。11.求上右图中阴影部分的面积。(单位：厘米)12.求下左图中阴影部分的面积。(单位：厘米)13.求上右图中阴影部分的周长。(单位：厘米)能力测试一、填空题(每题6分，共30分)1.半圆的周长是5.14厘米(取3.14)，它的半径是()。2.长方形、正方形、圆形的周长相等，请按照面积的大小排序。()＞()＞()。3.奥运会中我们经常可以看到五环旗，五环图的每个环形的内半径都是4厘米，外半径为5厘米，其中阴影面积都相等。已知五个圆环盖住的总面积是122.5平方厘米，则每个阴影部分的面积是()平方厘米。4.下左图中阴影部分的面积是()平方厘米。5.上右图中三个等圆的半径为5cm，三个圆两两交于圆心。则阴影部分的面积为()。二、选择题(每题5分，共10分)1.一个圆形的周长扩大8倍，面积扩大()倍。A.16B.64C.82.如右图所示，图中扇形的半径为8厘米，圆心角为45°，阴影部分的面积为()平方厘米。A.200.96B.6.88C.9.12三、解答题(每题12分，共60分)1.求下左图中阴影部分的面积。(单位：厘米)2.如上右图所示，求阴影部分的面积。(单位：厘米)3.一个直径为4厘米的半圆，让点A不动，把整个半圆顺时针旋转45°，此时B移至点B1，如下左图。求图中阴影部分的面积。4.求上右图中阴影部分的面积(单位：米)。5.已知图中两个正方形的边长分别为1厘米和2厘米，求阴影部分的面积。