三角恒等变换专题总结复习

三角恒等变换【知识分析】1、本章网络结构tantantantantantantantan22112coscossincossinsinsincos22112222222SSCCsincossinsincossinsinsincoscoscoscossinsincoscos12121212令ABsinsinsincossinsincossincoscoscoscoscoscossinsinABABABABABABABABABABABAB222222222222相除相除移项2相加减12212222coscoscossin变形sincoscoscos212212相除tancoscossincoscossin211112、要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如2，3是23的半角，2是4的倍角等。（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。（4）求值的类型：①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。②“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。（5）灵活运用角和公式的变形，如：2，tantantantantan1等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。（6）合一变形（辅助角公式）把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的BxAy)sin(形式。22sincossin，其中tan．（7）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。（8）三角恒等变换方法观察（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）①“变角”主要指把未知的角向已知的角转化，是变换的主线，如α=(α+β)－β=(α－β)+β,2α=(α+β)+(α－β),2α=(β+α)－(β－α),α+β=2·α+β2,α+β2=(α－β2)－(α2－β)等.②“变名”指的是切化弦（正切余切化成正弦余弦sincostan,cotcossin），③“变式’指的是利用升幂公式和降幂公式升幂降幂，利用和角和差角公式、合一变形公式展开和合并等。（9）证明三角恒等式时，所用方法较多，一般有以下几种证明方法：①从一边到另一边从一边开始直接推证,得到另一边,一般地,如果所证等式一边比较繁而另一边比较简时多采用此法,即由繁到简.②左右归一法,即将所证恒等式左、右两边同时推导变形,直接推得左右两边都等于同一个式子.③比较法,即设法证明:左边－右边=0或左右=1;④分析法,从被证的等式出发,逐步探求使等式成立的充分条件,一直推到已知条件或显然成立的结论成立为止,则可以判断原等式成立.【解题方法分析】1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。例1设2132tan13sin50cos6sin6,,,221tan132cos25abc则有（）【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如：sincos=2sin21，cos=2sinsin2，2cossincos22，2tantan-12tan2，2)cos(sincossin21，2cos22cos1，2sin22cos1，22cos1sin,22cos1cos22，tanα＋tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)等。另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为)xsin(ba22即asinx+bcosx=)xsin(ba22（其中tanba）是常用转化手段。特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±3cosx，要熟练掌握其变形结论。2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口（1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。例2．已知2π＜β＜α＜4π3，cos（α－β）=1312，sin（α+β）=－53，求sin2α的值．（本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点，2α=（α－β）+（α+β））例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）］·2sin80．【点评】：本题属于“理解”层次,解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。例4：已知sin（α+β）=32，sin（α－β）=43，求2tan()tantantantan()的值．。【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。（3）运用换元思想，实现三角恒等变换【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。例5：若,22sinsin求coscos的取值范围。【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子coscos看作一个整体，通过代数、三角变换等手段求出取值范围。3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。例6：已知：向量(3,1)a，(sin2,bxcos2)x，函数()fxab（1）若()0fx且0x，求x的值；（2）求函数()fx取得最大值时，向量a与b的夹角．【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识的分析和计算能力.【典例解析】题型1：两角和与差的三角函数例1．已知0coscos1sinsin，，求cos）的值（。【点评】：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin、cos、sin、cos，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆本题关键在于化和为积促转化，“整体对应”巧应用。例2．已知2tantan560xx，是方程的两个实根根，求222sin3sincoscos的值。【点评】：运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（3）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如。，，，tantantantantantantantantantantantantantantantan1tancossinsincoscos题型2：二倍角公式例3．化简下列各式：（1）2232cos21212121，，（2）4cos4cot2sincos222。【点评】：（1）在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2是的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意442，，三个角的内在联系的作用，4cos4sin222sin2cos是常用的三角变换。（2）化简题一定要找准解题的突破口或切入点，其中的降次，消元，切割化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。（3）公式变形，sin22sincos22cos1cos2，22cos1sin2。例4．若的值求，xxxxxtan1cos22sin,471217534cos2。【点评】：此题若将3cos45x的左边展开成3coscossinsin445xx再求cosx，sinx的值，就很繁琐，把作为整体x4，并注意角的变换2·，xx224运用二倍角公式，问题就公难为易，化繁为简新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆所以在解答有条件限制的求值问题时，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系，一般方法是拼角与拆角，如2，2222，，2，，，，等。题型3：辅助角公式例5．已知正实数a,b满足的值，求abbaba158tan5sin5cos5cos5sin。点评：以上解法中，方法一用了集中变量的思想，是一种基本解法；解法二通过模式联想，引入辅助角，技巧性较强，但辅助角公式sin