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宁波中学数学复习资料1/13导数与切线复习提纲一.切线问题1.导数的几何意义:在切点处切线的斜率。2.切线方程:'000()()yyfxxx−=−点斜式方程:点为切点00(,)xy;斜率为'0()kfx=,故求切线的关键是知道切点的坐标,如果题目中没有切点,那么先设出切点的坐标为00(,)xy。求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点00()Pxy,及斜率,其求法为:设00()Pxy,是曲线()yfx=上的一点,则以P的切点的切线方程为:000()()yyfxxx−=−.若曲线()yfx=在点00(())Pxfx,的切线平行于y轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为0xx=.类型一:已知切点,求曲线的切线方程此类题较为简单,只须求出曲线的导数()fx,并代入点斜式方程即可.例1曲线3231yxx=−+在点(11)−,处的切线方程为()A.34yx=−B.32yx=−+C.43yx=−+D.45yx=−解:由2()36fxxx=−则在点(11)−,处斜率(1)3kf==−,故所求的切线方程为(1)3(1)yx−−=−−,即32yx=−+,因而选B.类型二:已知斜率,求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点,再用点斜式方程加以解决.例2与直线240xy−+=的平行的抛物线2yx=的切线方程是()A.230xy−+=B.230xy−−=C.210xy−+=D.210xy−−=解:设00()Pxy,为切点,则切点的斜率为0022xxyx===|.01x=∴.由此得到切点(11),.故切线方程为12(1)yx−=−,即210xy−−=,故选D.评注:此题所给的曲线是抛物线,故也可利用法加以解决,即设切线方程为2yxb=+,代入2yx=,得220xxb−−=,又因为0=,得1b=−,故选D.类型三:已知过曲线上一点,求切线方程过曲线上一点的切线,该点未必是切点,故应先设切点,再求切点,即用待定切点法.例3求过曲线32yxx=−上的点(11)−,的切线方程.宁波中学数学复习资料2/13解:设想00()Pxy,为切点,则切线的斜率为02032xxyx==−|.∴切线方程为2000(32)()yyxxx−=−−.320000(2)(32)()yxxxxx−−=−−.又知切线过点(11)−,,把它代入上述方程,得3200001(2)(32)(1)xxxx−−−=−−.解得01x=,或012x=−.故所求切线方程为(12)(32)(1)yx−−=−−,或13112842yx−−+=−+,即20xy−−=,或5410xy+−=.评注:可以发现直线5410xy+−=并不以(11)−,为切点,实际上是经过了点(11)−,且以1728−,为切点的直线.这说明过曲线上一点的切线,该点未必是切点,解决此类问题可用待定切点法.类型四:已知过曲线外一点,求切线方程此类题可先设切点,再求切点,即用待定切点法来求解.例4求过点(20),且与曲线1yx=相切的直线方程.解:设00()Pxy,为切点,则切线的斜率为0201xxyx==−|.∴切线方程为00201()yyxxx−=−−,即020011()yxxxx−=−−.又已知切线过点(20),,把它代入上述方程,得020011(2)xxx−=−−.解得000111xyx===,,即20xy+−=.评注:点(20),实际上是曲线外的一点,但在解答过程中却无需判断它的确切位置,充分反映出待定切点法的高效性.例5已知函数33yxx=−,过点(016)A,作曲线()yfx=的切线,求此切线方程.解:曲线方程为33yxx=−,点(016)A,不在曲线上.设切点为00()Mxy,,则点M的坐标满足30003yxx=−.因200()3(1)fxx=−,故切线的方程为20003(1)()yyxxx−=−−.点(016)A,在切线上,则有32000016(3)3(1)(0)xxxx−−=−−.化简得308x=−,解得02x=−.宁波中学数学复习资料3/13所以,切点为(22)M−−,,切线方程为9160xy−+=.评注:此类题的解题思路是,先判断点A是否在曲线上,若点A在曲线上,化为类型一或类型三;若点A不在曲线上,应先设出切点并求出切点.例6.已知函数),(3)(23Rbaxbxaxxf−+=,在点))1(,1(f处的切线方程为02=+y.(1)求函数)(xf的解析式;(2)若对于区间]2,2[−上任意两个自变量的值21,xx,都有cxfxf−|)()(|21,求实数c的最小值;(3)若过点)2)(,2(mmM,可作曲线)(xfy=的三条切线,求实数m的取值范围。【解析】(1)323)(2−+=bxaxxf…………1分根据题意,得=−=,0)1(,2)1(ff即=−+−=−+,0323,23baba解得==.0,1ba.3)(3xxxf−=…………3分(3)设切点为300000(,),3xyyxx=−则200()33fxx=−,切线的斜率为2033.x−…………8分则3200003332xxmxx−−−=−即32002660xxm−++=,…………9分因为过点(2,)(2)Mmm,可作曲线()yfx=的三条切线所以方程32002660xxm−++=有三个不同的实数解即函数32()266gxxxm=−++有三个不同的零点,…………10分则2()612.gxxx=−宁波中学数学复习资料4/13令()0,02.gxxx===解得或x(,0)−0(0,2)2(2,+∞)()gx+0—0+()gx极大值极小值…………12分0)2(0)0(gg即−+0206mm,∴26−m…………14分类型五:某直线是曲线的切线例7.若直线(1)2ykx=−+是曲线33yxx=−的切线,求实数k的值。答案:k=0,过点(1,2)的切线问题。类型六:某直线不是曲线的切线例8.若对任意m∈R,直线x+y+m=0都不是曲线f(x)=3xax−的切线,则实数a的取值范围。提示:22'()313111fxxaaxa类型七:切线的应用求最小值例9在曲线)0(1=xxy上求一点P,使P到直线042=−+yx的距离最小?析:数形结合,平行于直线042=−+yx且与1(0)yxx=相切的切点即为所求。解:设切点00(,)Pxy,由21'yx=−得,0201'|xxkyx===−,又042=−+yx的斜率为12−。20112x−=−即002,2.xx==−00,2.xx=−02.2y=−2(2,)2P−−为所求。练习:已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点,O是坐标原点,P是抛物线的弧上求一点P,当△PAB面积最大时,P点坐标为.解析:|AB|为定值,△PAB面积最大,只要P到AB的距离最大,只要点P是抛物线的平行于AB的切线的切点,设P(x,y).由图可知,点P在x轴下方的图象上∴y=-2x,∴y′=-x1,∵kAB=-21,∴-211−=x宁波中学数学复习资料5/13∴x=4,代入y2=4x(y0)得y=-4.∴P(4,-4)类型八:相同的切线例10.已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图像都过P(2,0),且在点P处有相同的切线.(1)求实数a、b、c的值;(2)设函数F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的单调区间.解:(1)∵f(x),g(x)的图像过P(2,0)∴f(2)=0即2×23+a×2=0,所以a=-8.g(2)=0即:4×b+c=0又∵f(x),g(x)在P处有相同的切线,∴4b=16,b=4,c=-16,∴a=-18,b=4,c=-16.(2)由F(x)=2x3+4x2-8x-16,有F′(x)=6x2+8x-8解不等式F′(x)=6x2+8x-8≥0得x≤-2或x≥32即单调增区间为),32[],2,(+−−.同理,由F′(x)≤0得-2≤x≤32,即单调减区间为[-2,32].练习:已知()lnfxx=,217()22gxxmx=++(0m),直线l与函数()fx、()gx的图像都相切,且与函数()fx的图像的切点的横坐标为1.求直线l的方程及m的值;解:依题意知:直线l是函数()lnfxx=在点(1,0)处的切线,故其斜率1(1)11kf===,所以直线l的方程为1yx=−.又因为直线l与()gx的图像相切,所以由22119(1)0172222yxxmxyxmx=−+−+==++,得2(1)902mm=−−==−(4m=不合题意,舍去);类型九:切线应用(相交问题)例题:已知直线ykx=与曲线lnyx=有公共点,则k的最大值为1e。练习:已知直线ykx=与曲线lnyx=和xye=都没有公共点,则k的取值范围。课后练习1.曲线2xyx=−在点(1,1)−处的切线方程为.21yx=−+2.已知曲线11xyx+=−在点(3,2)处的切线与直线axy+10+=垂直,则a=.2−宁波中学数学复习资料6/133.直线ykx=是lnyx=的切线,则k的值为.1e4.曲线32yxx=+−在点P处的切线与直线14yx=−1+垂直,则点P坐标为.(1,0)或(1,4)−−5.已知曲线2:1Cyx=+,过曲线C上点P的切线,直线0,1,2yxx===围成的梯形面积取得最大值时P的坐标为.313(,)246.设P为曲线2:23Cyxx=++上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,]4,则点P横坐标的取值范围为.1[1,]2−−7.若点P在曲线3233(33)4yxxx=−+−+上移动,经过点P的切线的倾斜角,则角的取值范围为.2[0,)[,)238.已知点P在曲线41xye=+上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是.3[,)49.过点(1,0)P作曲线3yx=−的切线l,则l的方程为.0y=或274270xy+−=10.曲线xye=在点2(2,)e处的切线与坐标轴所围成的面积为.22e11.函数()fx在R上满足2()2(2)8fxfxxx=−−+8−,则曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程是.210xy−−=12.对正整数n,设曲线(1)nyxx=−在2x=处的切线与y轴交点纵坐标为na,则数列{}1nan+的前n项和的公式是.122n+−宁波中学数学复习资料7/1313.点P是曲线2lnyxx=−上任意一点,P则到直线2yx=−的距离的最小值为.214.曲线2()lnfxxaxbx=++过(1,0)P,且在P点处的切斜线率为2,求,ab的值.1,3ab=−=15.已知函数ln()1axbfxxx=++,曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为230xy+−=,求,ab的值.1,1ab==16.已知函数)(),(),(21)(,ln)(2xgxflaaxxgxxf与函数直线为常数+==的图象都相切,且l与函数)(xf图象的切点的横坐标为1,求直线l的方程及a的值;解由1|)(1==xxf,故直线l的斜率为1,切点为))1(,1(f即(1,0)∴1:−=xyl①又∵)21,1(,1)(axxg+==切点为∴1)21(:−=+−xayl即axy+−=21②比较①和②的系数得21,121−=−=+−aa17.已知定义在正实数集上的函数221()2,()3ln2fxxaxgxaxb=+=+,其中0a。设两曲线(),()yfxygx==有公共点,且在公共点处的切线相同。(1)若1a=,求b的值;(2)用a表示b,并求b的最大值。解:(1)设()yfx=与()(0)ygxx=在公共点00(,)xy处的切线相同3'()2,'()fxxgxx=+=由题意知0000()(),'()'()fxgxfxgx==,∴200000123ln232xxxbxx+=++=由0032xx+=得,01x=,或03x=−(舍去)即有52b=(2)设()
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