函数单调性讲义提高

1函数单调性1单调性定义（1）单调性定义：设函数的定义域为A，区间IA。如果对于任意1x，2xI，当12xx时，都有12fxfx，那么就说fx在区间I上是单调减函数．区间I叫做fx的单调减区间；如果对于任意1x，2xI，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说fx在区间I上是单调增函数．区间I叫做fx的单调增区间；单调增区间或单调减区间统称为单调区间。（2）函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0fxfxxx单调递增1212()()0fxfxxx单调递减例1定义在R上的函数()fx对任意两个不相等实数,ab，总有()()0fafbab成立，则必有（）A、函数()fx是先增加后减少B、函数()fx是先减少后增加C、()fx在R上是增函数D、()fx在R上是减函数（3）增函数、减函数的定义及图形表示;增函数:)()(2121xfxfxx减函数:)()(2121xfxfxx注意：对于函数单调性定义的理解，要注意以下两点①函数的单调性是对某一个区间而言的．f(x)在区间A与B上都是增(或减)函数，在A∪B上不一定单调．②单调性是函数在某一区间上的性质，因此定义中的x1，x2在这一区间上具有任意性，不能用特殊值代替．③在研究函数的单调性时，应先确定函数的定义域xy0x1x2f(x1)f(x2)xy0x1x2f(x1)f(x2)2例1下图是定义在区间[-5，5]上的函数)(xfy，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？例2已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（）A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一的实根例3已知函数)(xf是定义在]1,1[上的增函数,且)31()1(xfxf,求x的取值范围.例4已知函数f(x)＝x－1，若f(a＋1)f(10－2a)，则a的取值范围是________．(－∞，－1)∪(3,5)[解析]由题意，得a＋1010－2a0或a＋1010－2a0a＋110－2a或a＋1010－2a0a＋110－2a∴a－1或3a5.2函数单调性的证明方法（1）定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．（2）图象法(从图象上看升降)例1判断函数xxy4在，2上的单调性,并用定义证明.例2试讨论函数21fxx在区间1,1上的单调性．.解：设12,1,1xx，且12xx．22121211fxfxxx221222121111xxxx21212212()()11xxxxxx∵x2－x1＞0，222111xx＞0，xy12345-2-4-1-3-5123－1－2－3O3∴当210xx时，120xx，那么12fxfx．当210xx时，120xx，那么12fxfx．故21fxx在区间1,0上是增函数，在区间0,1上是减函数．例3已知函数211fxx用单调性定义证明：fx在,1上为增函数；解设121xx，21211222122011xxxxfxfxxx所以fx在,1上为增函数.例4证明函数f(x)＝2x－1x在(－∞，0)上是增函数．设x1，x2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x1x2.则f(x1)＝2x1－1x1，f(x2)＝2x2－1x2，f(x1)－f(x2)＝2x1－1x1－2x2－1x2＝2(x1－x2)＋1x2－1x1＝(x1－x2)2＋1x1x2由于x1x20，所以x1－x20,2＋1x1x20，因此f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故f(x)在(－∞，0)上是增函数．例5函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且对一切x0，y0都有fxy＝f(x)－f(y)，当x1时，有f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性并加以证明；(3)若f(4)＝2，求f(x)在[1,16]上的值域．解：(1)∵当x0，y0时，fxy＝f(x)－f(y)，∴令x＝y0，则f(1)＝f(x)－f(x)＝0.(2)设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则f(x2)－f(x1)＝fx2x1，∵x2x10.∴x2x11，∴fx2x10.∴f(x2)f(x1)，即f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)由(2)知f(x)在[1,16]上是增函数．∴f(x)min＝f(1)＝0，f(x)max＝f(16)，∵f(4)＝2，由fxy＝f(x)－f(y)，知f164＝f(16)－f(4)，∴f(16)＝2f(4)＝4，∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4]．4例6定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n，总有f(m＋n)＝f(m)·f(n)，且当x0时，0f(x)1.(1)试求f(0)的值；(2)判断f(x)的单调性并证明你的结论；解：(1)在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝1，n＝0，得f(1)＝f(1)·f(0)．因为f(1)≠0，所以f(0)＝1.(2)任取x1，x2∈R，且x1x2.在已知条件f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，若取m＋n＝x2，m＝x1，则已知条件可化为：f(x2)＝f(x1)·f(x2－x1)．由于x2－x10，所以0f(x2－x1)1.为比较f(x2)，f(x1)的大小，只需考虑f(x1)的正负即可．在f(m＋n)＝f(m)·f(n)中，令m＝x，n＝－x，则得f(x)·f(－x)＝1.因为当x0时，0f(x)1，所以当x0时，f(x)＝1f－x10.又f(0)＝1，所以综上可知，对于任意的x1∈R，均有f(x1)0.所以f(x2)－f(x1)＝f(x1)[f(x2－x1)－1]0.所以函数f(x)在R上单调递减．3复合函数的单调性判断（1）复合函数的概念如果y是u的函数，u又是x的函数，即ufy，xgu，那么y关于x的函数xgfy称为f,g的复合函数，u为中间变量。（2）结论：设函数xgu在区间M上有意义，函数ufy在区间N上有意义，且当X∈M时，u∈N。有以下四种情况：（1）若xgu在M上是增函数，ufy在N上是增函数，则xgfy在M上也是增函数；（2）若xgu在M上是增函数，ufy在N上是减函数，则xgfy在M上也是减函数；（3）若xgu在M上是减函数，ufy在N上是增函数，则xgfy在M上也是减函数；（4）若xgu在M上是减函数，ufy在N上是减函数，则xgfy在M上也是增函数。即：同增异减。注意：内层函数xgu的值域是外层函数ufy的定义域的子集。（3）用表格表示，如下（实施该法则时首先应考虑函数的定义域.）t＝g(x)y＝f(t)y＝f[g(x)]增增增增减减减增减5注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.例1xxy22例2求函数22xxy的递减区间。例3求函数f(x)＝x2＋x－6的单调区间．解：设u＝x2＋x－6，y＝u.由x2＋x－6≥0，得x≤－3或x≥2.结合二次函数的图象可知，函数u＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．又∵函数y＝u是递增的，∴函数f(x)＝x2＋x－6在(－∞，－3]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的．4函数单调性的常见结论①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数)(xf增函数)(xg是增函数；减函数)(xf减函数)(xg是减函数；增函数)(xf减函数)(xg是增函数；减函数)(xf增函数)(xg是减函数新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆④函数)0,0(baxbaxy在,,bbaa或上单调递增；在,00bbaa或，上⑤若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数，5常见函数的单调性例1设函数bxaxf)12()(是（-∞，+∞）上的减函数，若a∈R,则（）A.21aB.21aC.21aD.21a例2函数y=4x2-mx+5在区间，2上是增函数，在区间2，上是减函数，则m=________;减减增6例3函数)2()(||)(xxxgxxf和的递增区间依次是（）A．]1,(],0,(B．),1[],0,(C．]1,(),,0[D),1[),,0[例4已知函数2212fxxax在区间4,上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤3B．a≥－3C．a≤5D．a≥3例5函数f(x)=ax2-(5a-2)x-4在,2上是增函数,则a的取值范围是______________.例6求函数261yxx的单调区间例7若函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是()A．增函数B．减函数C．先增后减D．先减后增例8函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．解析：y＝－(x－3)|x|＝－x2＋3x，x0，x2－3x，x≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为0，32.答案：0，32例9求函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调区间解：(1)由于y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x0，即y＝－x－12＋2，x≥0，－x＋12＋2，x0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．6函数的单调性的应用例1设函数f(x)是（－，+）上的减函数，若aR，则（）A．f(a2+1)f(a)B．f(a2)f(a)C．f(a2+a)f(a)D．f(a)f(2a)例2已知函数20xafxax在2,上递增，求实数a的取值范围.解：设122xx，由221221121212121212120xaxaxxxxafxfxxxaxxxxxxxx恒成立．7即当122xx时，12xxa恒成立．又124xx，所以04a．例3求函数112)(xxxf在区间1,4上的最大值、最小值.最大值为5914142)4(f,最小值为2311112)1(f.例4若f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．解析：设x1x2－2，则f(x1)f(x2)，而f(x1)－f(x2)＝ax1＋1x1＋2－ax2＋1x2＋2＝2ax1＋x2－2ax2－x1x1＋2x2＋2＝x1－x22a－1x1＋2x2＋20，则2a－10.得a12.提高题1已知函数1()2axfxx在区间2,上为增函数，则实数a的取值范围_____2已知