参数方程总结

知识回顾：曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即)()(tfytfx并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．一、直线的参数方程考点一：直线参数方程求法其中：为直线恒过的点，为直线的倾斜角，为直线的参数。例一：设直线过点，倾斜角为：求直线的参数方程.00cossinxxtyyt（1）直线参数方程的标准式：322142xtyt52cos654sin6xtyt解：即其中：为直线恒过的点，向量为直线的方向向量，为直线的参数。（2）直线参数方程的一般式：00xxltyymt解：1234xtytl例二：设直线过点，且与向量共线，求直线的参数方程.考点二：标准的直线参数方程的几何意义。所以，直线的参数方程为00cossinxxtMyyt00cossinxxtyyt0'0cossinxxtMyyt二、圆的参数方程所以：圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为x=a+rcosθy=b+rsinθ(θ为参数)例1、如图,已知点P是圆O:x2+y2=16上的一个动点,点A是x轴上的定点,坐标为(12,0).当点P在圆上运动时,求线段PA中点M的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？例二、已知点P(x,y)是圆032222yxyx上的一个动点,求:x+y的最小值。xyryrxtan,sin,cos则设（终边上任意一点角,),,rOPyxP(x-a)2+(y-b)2=r2，表示圆心坐标为(a,b),半径为r的圆。1.圆的标准方程是什么？它表示怎样的圆？我们把方程组(1)叫做圆心为原点、半径为r的圆的参数方程。其中参数θ表示OP0到OP所成旋转角，(cos,sin).Prrcos,sin.xryrsin,cos.yxrr根据三角函数的定义得(1)解：则圆的参数方程为：取,xOP为参数）(.sin2,cos2yx由中点公式可得：）为（的坐标则点的坐标为（设点,sin2,cos2),,PyxMsin2sin2,3cos26cos2yx所以，点M的轨迹的参数方程是为参数）（.sin,3cosyx注意：本题说明了参数方程在求点的运动轨迹方面的应用轨迹是指点运动所成的图形；轨迹方程是指表示动点所成图形所满足的代数等式。sin23cos21sin23cos21(.sin23,cos214)3()103222222yxPyxyxyxyx），（则为参数）其参数方程为（可化为解：圆说明：本例说明了圆的参数方程在求最值时的应用；练习：1.写出下列圆的参数方程:(1)圆心在原点,半径为:______________;(2)圆心为(-2,-3),半径为1:______________;2.若圆的参数方程为x=5cosθ+1y=5sinθ-1,则其标准方程为:______________三、椭圆的参数方程复习：焦点在x轴上的椭圆的标准方程：22221(0)xyabab焦点在y轴上的椭圆的标准方程：22221(0)yxabab1.焦点在x轴上的椭圆的参数方程因为22()()1xyab，又22cossin1设cos,sinxyab，即acosybsinx，这是中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆的参数方程。2.焦点在y轴上的椭圆的参数方程2222y1,bax例1.把下列普通方程化为参数方程.解：例2.已知椭圆22221(0)xyabab,求椭圆内接矩形面积的最大值.解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为(cos,sin)ab4cossin2sin22Sababab矩形2213)(1)4sin(minyx时，当3cosyasinxb()为参数()为参数22(1)149xy22(2)116yx2cos(1)3sinxycos(2)4sinxy()224kkZSab矩形当时，最大。所以椭圆内接矩形面积的最大值为2ab练习44(2,3),(5,15)55AB、、(23,3),(4,3)CD、、2224cos2sin3cos0,()____________________?2.xyxy已知圆的方程为为参数，那么圆心的轨迹的普通方程为221210094xyMMxy在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求出3、最小距离四、抛物线的参数方程?)0(22的参数方程方程为抛物线设抛物线的普通的定义选取参数，建立思考：怎样根据抛物线ppyx4cos{()23sin()31xPyOPOP是椭圆为参数上一点，且在第一象限，为原点的倾斜角、为，则点的坐标为的参数方程不包括顶点这就是抛物线为参数），得到解出由定义可得数的的终边上，根据三角函在因为点设抛物线的普通方程为))(5((tan2tan2,)6(),5()6....(..............................tan)5.(..........222pypxyxxyMpxy的倒数。一点与原点连线的斜率的任意表示抛物线上除顶点外示抛物线。参数时，参数方程就表因此当的顶点点正好就是抛物线时，由参数方程表示的当为参数则有如果令ttttptyptxtt),()0,0(0)(22),,0()0,(,tan12【解析】如图，(0,)(,)22，根据三角函数的定义得，tanytx，即yxt，联立22xpy，得222xptypt（t为参数）.所在直线的斜率是？则弦所对应的参数分别是，上异于原点的不同两点为参数、若曲线例2121212,,)(221MMttMMtptyptx2122212122222121121212112222)2,2(),2,2(,1ttptptptptkptptMptptMMMttMMMM的坐标分别为和，则可得点和别是两点对应的参数方程分解：由于练习：1.若点(3,)Pm在以点F为焦点的抛物线24()4xttyt为参数上，则PF等于（C）A．2B．3C．4D．52.抛物线22xmym（m为参数）的焦点坐标是（B）A．(1,0)B．(0,1)C．(0,2)D．(2,0)3.已知曲线22()2xpttpypt为参数为正常数,上的两点,MN对应的参数分别为12tt和，120tt且，那么MN（C）A．1ptB．12ptC．14ptD．18pt4.若曲线222xptypt（t为参数）上异于原点的不同的两点1M、2M所对应的参数分别是1t、2t，求12MM所在直线的斜率.五、双曲线的参数方程M(x,y)OxyA2a222xy双曲线的一般方程：-=1,这是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线。b3[,2)22o通常规定且，。（或ecaybxstg）例1：参数方程(α为参数)化为普通方程，则这个方程是()．解析:分析：根据1+tan2α=sec2α，消去参数方程（α为参数）中的参数α，化为普通方程．解答：解：由参数方程（α为参数），可得tanα=y，secα=x-1，代入1+tan2α=sec2α，消去参数α，可得1+y2=（x-1）2，即（x-1）2-y2=1，练习：1.2.3.直线和曲线相交于A、B两点．求线段AB的长．4.练习：1、已知一条直线上两点111,yxM、222,yxM，以分点M（x，y）分21MM所成的比为参数，写出参数方程。2、直线tytx211233(t为参数)的倾斜角是（）A．6B．3C．65D．323、方程sin3cos1tytx（t为非零常数，为参数）表示的曲线是()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线4、已知椭圆的参数方程是sin4cos5yx（为参数），则椭圆上一点P(25，32)的离心角可以是A．3B．32C．34D．355、把曲线的参数方程,21sin,cos200gttvytvx)2()1(化成普通方程．6.已知圆的方程是x2+y2-2x+6y+6=0,则它的参数方程为_______________.7、直线3x－2y＋6=0，令y=tx＋6（t为参数）．求直线的参数方程．8、在圆x2＋2x＋y2=0上求一点，使它到直线2x＋3y－5=0的距离最大．9、在椭圆4x2＋9y2=36上求一点P，使它到直线x＋2y＋18=0的距离最短（或最长）．10.已知点P是圆O:x2+y2=16上的一个动点,点B是平面上的定点,坐标为(12,2).当点P在圆上运动时,求线段PB中点M的轨迹方程，并说明点M的轨迹图形是什么？11、已知直线；l：tytx4231与双曲线（y-2）2-x2=1相交于A、B两点，P点坐标P(-1，2)。求：（1）|PA|.|PB|的值；（2）弦长|AB|;弦AB中点M与点P的距离。12、已知A（2,0）,点B,C在圆x2+y2=4上移动，且有32BAC求ABC重心G的轨迹方程。13、已知椭圆183222yx和圆x2+(y-6)2=5,在椭圆上求一点P1,在圆上求一点P2,使|P1P2|达到最大值，并求出此最大值。15、椭圆)0(12222babyax上是否存在点P，使得由P点向圆x2+y2=b2所引的两条切线互相垂直？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。16、在同一极坐标系中与极坐标M（－2,40°）表示同一点的极坐标是（）（A）（－2,220°）（B）(－2,140°)（C）(2,－140°)（D）(2,－40°)17.在极坐标系中和圆ρ=4sinθ相切的一条直线方程是（）（A）ρsinθ=2（B）ρcosθ=2（C）ρsinθ=4（D）ρcosθ=418、在直角坐标系中，已知点M(－2，1)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，当极角在(－π，π]内时，M点的极坐标为（）（A）（5，π－argtg(－21)）（B）（－5，argtg(－21)（C）（－5，π－argtg21）（D）（5，－π＋argtg21）19、把点)4,3(),6,5(BA的极坐标化为直角坐标。20、把点)0,2(),3,0(),1,3(PNM的直角坐标化为极坐标。21、已知正三角形ABC中，顶点A、B的极坐标分别为)2,3(),0,1(BA，试求顶点C的极坐标。22、讨论下列问题：（1）在极坐标系里，过点M（4，30°）而平行于极轴的直线的方程是（）（A）sin＝2（B）sin＝－2（C）2cos（D）2cos（2）在极坐标系中，已知两点M1(4，arcsin31)，M2(－6，－π－arccos(－322))，则线段M1M2的中点极坐标为（）（A）(－1，arccos322)（B）(1,arcsin31)（C）(－1，arccos(－322))（D）(1,－arcsin31)（3）已知P点的极坐标是(1,π)，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（）。（A）ρ=1（B）ρ＝cosθ（C）ρcosθ=－1（D）ρcosθ=123、讨论下列问题；（1）圆的半径是1，圆心的极坐标是(1,0)，则这个圆的极坐标方程是（）。（A）ρ＝cosθ（B）ρ＝sinθ（C）ρ＝2cosθ（D）ρ＝2sinθ（2）极坐标方程分别