高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

抛物线专题复习知识点梳理：抛物线)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。{MFM=点M到直线l的距离}范围0,xyR0,xyR,0xRy,0xRy对称性关于x轴对称关于y轴对称焦点(2p,0)(2p,0)(0,2p)(0,2p)焦点在对称轴上顶点(0,0)O离心率e=1准线方程2px2px2py2py准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离2p焦点到准线的距离p焦半径11(,)Axy12pAFx12pAFx12pAFy12pAFyxyOlFxyOlFlFxyOxyOlF焦点弦长AB12()xxp12()xxp12()yyp12()yyp焦点弦AB的几条性质11(,)Axy22(,)Bxy以AB为直径的圆必与准线l相切若AB的倾斜角为，则22sinpAB若AB的倾斜角为，则22cospAB2124pxx212yyp112AFBFABAFBFAFBFAFBFp切线方程00()yypxx00()yypxx00()xxpyy00()xxpyy一．直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y得：（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k≠0时，Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0，直线l与抛物线相切，一个切点；Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l：bkxy抛物线，)0(p联立方程法：pxybkxy220)(2222bxpkbxkox22,BxyFy11,Axy设交点坐标为),(11yxA,),(22yxB，则有0,以及2121,xxxx，还可进一步求出bxxkbkxbkxyy2)(212121，2212122121)())((bxxkbxxkbkxbkxyy在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如相交弦AB的弦长2122122124)(11xxxxkxxkABak21或2122122124)(1111yyyykyykABak21抛物线练习1、已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为2、已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为3、直线3yx与抛物线24yx交于,AB两点，过,AB两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,PQ，则梯形APQB的面积为4、设O是坐标原点，F是抛物线22(0)ypxp的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向的夹角为60，则OA为5、抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl⊥，垂足为K，则AKF△的面积是6、已知抛物线2:8Cyx的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且2AKAF，则AFK的面积为7、已知双曲线22145xy，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为8、在平面直角坐标系xoy中，有一定点(2,1)A,若线段OA的垂直平分线过抛物线22(0)ypxp则该抛物线的方程是。9、在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是10、抛物线2yx上的点到直线4380xy距离的最小值是11、已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是12、已知点11(,)Axy,22(,)Bxy12(0)xx是抛物线22(0)ypxp上的两个动点,O是坐标原点,向量OA,OB满足OAOBOAOB.设圆C的方程为221212()()0xyxxxyyy。(1)证明线段AB是圆C的直径;(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为255时，求p的值。解：(1)证明:22,()()OAOBOAOBOAOBOAOB，222222OAOAOBOBOAOAOBOB，整理得:0OAOB，12120xxyy……(1)以线段AB为直径的圆的方程为2222121212121()()[()()]224xxyyxyxxyy，展开并将(1)代入得:221212()()0xyxxxyyy，故线段AB是圆C的直径(2)解:设圆C的圆心为C(x,y),则121222xxxyyy圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则1212|()|25xxyyd2211222,2(0)ypxypxp，22121224yyxxp，又因12120xxyy，1212xxyy，22121224yyyyp，12120,0xxyy，2124yyp，2212122221212121|()()||24()8|4545yyyyyyyypyyppdp2212(2)445yyppp，当122yyp时,d有最小值5p,由题设得2555p，2p.13、已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线22yx上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）（1）求圆C的方程；（2）设圆M的方程为22(47cos)(7cos)1xy，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PEPF，，切点为EF，，求CECF，的最大值和最小值．（1）解：设AB，两点坐标分别为11()xy，，22()xy，，由题设知22221122xyxy．又因为2112yx，2222yx，可得22112222xxxx．即1212()(2)0xxxx．由10x，20x，可知12xx，故AB，两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上．设C点的坐标为(0)r，，则A点坐标为3322rr，，于是有233222rr，解得4r，所以圆C的方程为22(4)16xy．（2）解：设2ECFa，则2||||cos216cos232cos16CECFCECF．在RtPCE△中，4cos||||xPCPC，由圆的几何性质得||||17PCMC≤18，||||1716PCMC≥，所以12cos23≤≤，由此可得1689CECF≤≤．则CECF的最大值为169，最小值为8．14、如图，已知点(10)F，，直线:1lx，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且QPQFFPFQ．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点F的直线交轨迹C于AB，两点，交直线l于点M，已知1MAAF，12MBBF，求12的值；解：（1）设点()Pxy，，则(1)Qy，，由QPQFFPFQ得：(10)(2)(1)(2)xyxyy，，，，，化简得2:4Cyx．（2）设直线AB的方程为1(0)xmym．设11()Axy，，22()Bxy，，又21Mm，，联立方程组241yxxmy，，，消去x得：2440ymy，2(4)120m，故121244yymyy，．Oyx1lFPBQMFOAxy由1MAAF，2MBBF得：1112yym，2222yym，整理得：1121my，2221my，12122112myy121222yymyy2424mm0．