结构力学第五版-李廉锟-第八章位移法

第八章位移法§8-1概述基本方法——力法、位移法结构：外因→内力~位移——恒具有一定关系力法：内力→位移位移法：位移→内力基本未知量力法——多余未知力位移法——结点位移（线位移，转角位移）第八章位移法基本概念：（以刚架为例）n=2（超静定次数）忽略轴向变形，结点位移Z1（角位移，无线位移）变形协调条件各杆1端转角Z1被动位移→主动位移12杆：两端固定，作用P、Z113杆：一端固定、一端铰支，作用Z1◎力法可解各杆杆端力（矩）M12、M13为位移Z1的函数第八章位移法基本思路：——以角位移Z1为基本未知量——表示Mij（Z1）——结点1的力矩平衡——平衡条件基本方程：ΣM1=0M12（Z1）+M13（Z1）=0可解基本未知量Z1——结果杆端力（矩）M12（Z1）、M13（Z1）、M21（Z1）——M图可见，在计算刚架时，如果以Z1为基本未知量，设法首先求出Z1，则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。第八章位移法一、位移法的基本思路将结构拆成杆件，再由杆件过渡到结构。即：结构拆成杆件结构搭接成第一步第二步第一步：杆件分析找出杆件的杆端力与杆端位移之间的关系。即：建立杆件的刚度方程。第二步：结构分析找出结构的结点力与结点位移之间的关系。即：建立结构的位移法基本方程。第八章位移法位移法要点：一分一合①确定基本未知量（变形协调）——基本体系——独立受力变形的杆件②结构→杆件——杆件分析（分）——转角位移方程（杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系）③杆件→结构——整体分析（合）——建立基本方程（平衡条件）——求解基本未知量（结点位移）第八章位移法§8-2等截面直杆的转角位移方程为什么要研究等截面直杆的转角位移方程？1、位移法是以等截面直杆（单跨超静定梁）作为其计算基础的。2、等截面直杆的杆端力与荷载、杆端位移之间恒具有一定的关系——“转角位移方程”。3、渐近法中也要用到转角位移方程。第八章位移法用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆端产生位移(线位移、角位移)时的杆端内力(弯矩、剪力),以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。一、单跨超静定梁的三种类型（近端固定）远端固定远端铰支远端滑动支座（定向支座)。BABAAB§8-2等截面直杆的转角位移方程第八章位移法8AB杆端内力、位移的符号规定：●杆端弯矩:MAB表示AB杆A端的弯矩。绕杆端顺时针为正（绕结点逆时针为正）●杆端剪力：绕隔离体顺时针转为正(同前)。●结点转角：以顺时针转为正。●杆端的相对线位移：使杆件弦转角顺时针转动为正。MABMBAA′B′ABAB第八章位移法单跨超静定梁——由杆端位移及荷载求杆端力两端固定等截面梁（两端约束杆）杆AB有杆端位移φA、φB、ΔAB，只考虑相对线位移ΔAB弦转角βAB=ΔAB∕l求杆端力——力法求支座移动引起的内力第八章位移法EIl3221112216lEI121ABABl1/l1/l11112212112222ABXXXX第八章位移法12642624ABABABBAABABiMXiiliMXiil－线刚度ilEI26426246612ABABABSABABiiilMiMiilFiiilll＝第八章位移法两端固定梁的转角位移方程ABEIill称为“线刚度”、称为“旋转角”固端弯矩：单跨超静定梁在荷载及温度变化等外因作用下所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端剪力。用MfAB、MfBA、FfAB、FfBA表示。642ABFABABABiMiiMl624BAFBAABABiMiiMl第八章位移法一端（B端）有不同支座时的刚度方程（1）B端固定支座60462BABABAAiMiliMil令，（2）B端铰支座16024BABAiMiil令=－33ABAiMil第八章位移法（3）B端滑动支座002BSABSBAABAlFF令，且ABBAMiMi第八章位移法由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。单跨超静定梁简图MABMBAVAB=VBA4i2if=1ABAB1212lili6li6li6AB10li3ABf=13i023liABf=1i-i0li3第八章位移法l/2l/2CABqCX1CX1=11M112ql22ql812ql224ql2EIlEIl1111321211(1)38224PlqlqlEIEI两端固定受均布荷载：2111124PqlX四、转角位移方程-载常数第八章位移法l/2l/2CABq212ABqlM12ql22ql812ql224ql20ABBAABABMMVVl212BAqlM0ABBABABAMMVVl2ql2ql第八章位移法由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数2P8Pl098Ml316PlqAB212ql212ql单跨超静定梁简图MFABMFBAVFABVFBA2ql2ql8Pl2P8MAB2l2lP2lAB2l2lP1116P516PABq28ql058ql38qlAB2l2lM098Ml其他荷载情况下的载常数可参见表8－1（P181－184）。第八章位移法表中单位角位移是顺时针，相对线位移绕另一端也是顺时针，荷载绕（左）固定端同样是顺时针的。如果单位角位移、线位移是逆时针的，则表中所列形常数的正负号要反号。如果荷载绕固定端（左）是逆时针的；则表中所列载常数的正负号也要反号。注意：表8-1列出了常见的形常数和载常数。形常数要求牢记（表8-1），载常数要会查表。表中单位角位移、线位移、荷载、弯矩、剪力均设为正值。当计算某一结构时，应根据杆件两端实际的位移方向和荷载方向，判断形常数和载常数的正负。第八章位移法刚架——除结点角位移外还有结点线位移假定①理想刚结点，铰结点②忽略轴力产生的轴向变形③小变形（直杆弯曲两端距离不变）§8-3位移法的基本未知量和基本结构位移法的基本未知量是各结点的角位移和线位移,计算时应首先确定独立的角位移和线位移数目。1.位移法的基本未知量第八章位移法§8-3位移法的基本未知量和基本结构(1)独立角位移数目同一刚结点,各杆端转角相等一个独立的角位移未知量。固定支座处，转角=0,已知量;铰结点或铰支座各杆端的转角不独立，不必作为基本未知量。例如,图示刚架123456独立的结点角位移数目为2。独立角位移数目=结构刚结点的数目第八章位移法22(2)独立线位移数目每一结点可能有水平和竖向两个线位移。(受弯杆件略去轴向变形，弯曲变形微小，变形后长度不变，每一受弯直杆=一个约束，可减少结点线位移数目)，结构只有一个独立线位移(侧移)。1234564、5、6三个固定端均不动，结点1、2、3均无竖向位移,又因两根横梁长度不变，故三个结点均有相同的水平位移△。F△△△(a)事实上，图(a)所示结构的独立线位移数目，与图(b)所示铰结体系的线位移数目是相同的。因此，实用上为了能简捷地确定出结构的独立线位移数目，可以(b)将刚结点(包括固定支座)都变成铰结点,则使其成为几何不变添加的最少链杆数，即为原结构的独立线位移数目。第八章位移法1.独立角位移数目=结构刚结点的数目2.独立线位移数目=将刚结都变成铰结后,使其成为几何不变所需添加的最少链杆数注意:1.刚度=杆件所联结的结点,角位移相同;2.静定部分的内力直接由平衡方程求得,确定位移法基本未知量时无需再考虑;3.位移法的基本未知量个数与超静定次数无关.第八章位移法位移法的基本结构就是通过增加附加约束（包括附加刚臂和附加支座链杆）后，得到的三种基本超静定杆的综合体。二、位移法的基本结构用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静定梁。因此，位移法的基本结构就是：把每一根杆件都暂时变为一根单跨超静定梁。通常的做法是：在每个刚结点上假想地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结点转动),同时在有线位移的结点上沿线位移的方向加上附加支座链杆(阻止结点移动)。123456(a)例如：(见图a)基本未知量三个。第八章位移法所谓附加刚臂，就是在每个可能发生独立角位移的刚结点和组合结点上，人为地加上的一个能阻止其角位移(但并不阻止其线位移)的附加约束，用黑三角符号“”表示。所谓附加支座链杆，就是在每个可能发生独立线位移的结点上沿线位移的方向，人为地加上的一个能阻止其线位移的附加约束。2ZZ41Z3Z3ZZ3ACFGDHEBFCADGHEB第八章位移法三、位移法的基本体系图a所示刚架的基本未知量为结点A的转角Z1。在结点A加一附加刚臂，就得到位移法的基本结构（图b）。同力法一样，受荷载和基本未知量共同作用的基本结构，称为基本体系（图c）。APFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F=0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAAPFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F=0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAAPFBCZ1Z1EI=常数l/2/2ll1Z1ZBACFP1F=0Z11ZF11ABCZ1Z11PFPFABCCBAa)原结构c)基本体系b)基本结构第八章位移法FPEI=常数l2l2l通过施加附加约束使体系变成两个基本单跨超静定梁,称其为位移法基本结构,而附加约束的位移称为位移法的基本未知量Z。受基本未知量和外因共同作用的基本结构称为基本体系。FP第八章位移法第八章位移法基本结构与原结构有两点区别：原结构在外因作用下有结点位移，而基本结构在外因作用下是无结点位移的；原结构无附加约束，而基本结构有附加约束。消除差别的办法是使附加约束上的总反力等于零。第八章位移法ll↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qEI=常数ABCβA↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCZ1R1R1=0↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCR1Pql2/12ql2/12ABCZ1R11Z1Z114ZlEI12ZlEI12ZlEI14ZlEIAlEI214ZlEIAlEI412ZlEI1221qlRPql2/12R1P4iR11lEIZlEIZ114401280211111qlZlEIRRRPEIqlZ9631↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qABCql2/245ql2/48ql2/48011RZA011RZAAZ1位移法基本思路第八章位移法2kN/mCA16kNB基本体系解:1）基本未知量和基本体系结点B的角位移1Z结点B加上附加约束得到基本体系2）位移法方程11110PrZRCAB2i11Z4i3i作用的图11Z1M3）计算11r令6EIi，计算各杆端弯矩2,4,3ABBABCMiMiMi由结点B的力矩平衡，可得110,r437BMiiiB11r4i3iCA6m3m3m2kN/m16kNB原结构§8.4位移法典型方程及计算步骤11110PRRR第八章位移法4）计算1PR基本结构在荷载作用下计算各杆固端弯矩，作图PM222661212FFABBAqlMMkNmCA16kNB(单位：kN.m)荷载作用的图PM2kN/m61815633166181616FBCplMkNm由结点B的力矩平衡，可得10,1860BPMRB1PR618112PRkNm5）求解1Z11111211.7147PRZriiCA6m3m3m2kN/m16kNB原结构第八章位移法（6）作图M11.7142262.57FABABMiZMikNmi利用叠加公式：，计算杆端弯矩。11PMMZM11.71444612.86FBABAMiZMiikNm