-两角和与差的正弦余弦正切公式练习

两角和与差的正弦余弦正切公式一、选择题：1.sin12π25cos6π11－cos12π11sin6π5的值是2.若sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=0，则sin（α+2β）+sin（α－2β）等于二、解答题3.已知4π＜α＜4π3，0＜β＜4π，cos（4π+α）=－53，sin（4π3+β）=135，求sin（α+β）的值.4.已知非零常数a、b满足5πsin5πcos5πcos5πsinbaba=tan15π8，求ab.5.已知０＜α＜4π，sin（4π－α）=135，求)4πcos(2cos的值.6.已知sin（α+β）=32，sin（α－β）=43，求tantan的值.7.已知A、B、C是△ABC的三个内角且lgsinA－lgsinB－lgcosC=lg2.试判断此三角形的形状特征.8.化简8sin15sin7cos8sin15cos7sin.9．求值：（1）sin75°；（2）sin13°cos17°+cos13°sin17°.10．求sin18π7cos9π2－sin9πsin9π2的值.11．已知2π＜α＜β＜4π3，cos（α－β）=1312，sin（α+β）=－53，求sin2α的值.12．证明sin（α+β）sin（α－β）=sin2α－sin2β，并利用该式计算sin220°+sin80°·sin40°的值.13．化简：［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）］·80sin22.答案：1.B2.C3.解：∵4π＜α＜4π3，∴2π＜4π+α＜π.又cos（4π+α）=－53，∴sin（4π+α）=54.∵0＜β＜4π，∴4π3＜4π3+β＜π.又sin（4π3+β）=135，∴cos（4π3+β）=－1312，∴sin（α+β）=－sin［π+（α+β）］=－sin［（4π+α）+（4π3+β）］=－［sin（4π+α）cos（4π3+β）+cos（4π+α）sin（4π3+β）］=－［54×（－1312）－53×135］=6563.4.分析：这道题看起来复杂，但是只要能从式子中整理出ab，用15π8、5π的三角函数表示出来，再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可.解：由于5πsin5πcos5πcos5πsin5πsin5πcos5πcos5πsinababbaba，则15π8tan5πsin5πcos5πcos5πsinabab.整理，有)5π15π8cos()5π15π8sin(5πsin15π8sin5πcos15π8cos5πsin15π8cos5πcos15π8sinab=tan3π=3.5.分析：这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运用以及变角技巧.解题过程中，需要注意到（4π+α）+（4π－α）=2π，并且（4π+α）－（4π－α）=2α.解：cos（4π+α）=cos［2π－（4π－α）］=sin（4π－α）=135，又由于０＜α＜4π，则0＜4π－α＜4π，4π＜4π+α＜2π.所以cos（4π－α）=1312)135(1)4π(sin122，sin1312)135(1)4π(cos1)4π(22.因此)4πcos()]4π()4πcos[()4πcos(2cosa=)4πcos()4πsin()4πsin()4πcos()4πcos(=132413513513121312135.6.分析：当题中有异角、异名时，常需化角、化名，有时将单角转化为复角（和或差）.本题是将复角化成单角，正（余）切和正（余）弦常常互化.欲求tantan的值，需化切为弦，即sincoscossintantan，可再求sinαcosβ、cosαsinβ的值.解：∵sin（α+β）=32，∴sinαcosβ+cosαsinβ=32.①∵sin（α－β）=43，∴sinαcosβ－cosαsinβ=43.②由（①+②）÷（①－②）得tantan=－17.7.分析：从角与角的关系探究三角函数间的关系；反之，利用三角函数间的关系去判断角的大小及关系，这是常用的基本方法.可以先化去对数符号，将对数式转化为有理式，然后再考察A、B、C的关系及大小，据此判明形状特征.解：由于lgsinA－lgsinB－lgcosC=lg2，可得lgsinA=lg2+lgsinB+lgcosC，即lgsinA=lg2sinBcosC，sinA=2sinBcosC.根据内角和定理，A+B+C=π，∴A=π－（B+C）.∴sin（B+C）=2sinBcosC，即sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC.移项化为sinCcosB－sinBcosC=0，即sin（B－C）=0.∴在△ABC中，C=B.∴△ABC为等腰三角形.8.分析：这道题要观察出7°+8°=15°，解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式.解：8sin15sin7cos8sin15cos7sin=8sin15sin)815cos(8sin15cos)815sin(=8sin15sin8sin15sin8cos15cos8sin15cos8sin15cos8cos15sin=15cos15sin=2－3.9．解：（1）原式=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=21·22+23·22=462.（2）原式=sin（13°+17°）=sin30°=21.10．解：观察分析这些角的联系，会发现9π=2π－18π7.sin18π7cos9π2－sin9πsin9π2=sin18π7cos9π2－sin（2π－18π7）sin9π2=sin18π7cos9π2－cos18π7sin9π2=sin（18π7－9π2）=sin6π=21.11．解：设边锋为C，C到足球门AB所在的直线的距离为CO=x，OB=b，OA=a（a＞b＞0，a、b为定值），∠ACO=α，∠BCO=β，∠ACB=α－β＝γ（0＜γ＜2π），则tanα=xa，tanβ=xb（x＞0，xab＞0）.所以tanγ=tan（α－β）=xabxbaxabxbxa21tantan1tantan≤abba2.当且仅当x=xab，即x=ab时，上述等式成立.又0＜γ＜2π，tanγ为增函数，所以当x=ab时，tanγ达到最大，从而∠ACB达到最大值arctanabba2.所以边锋C距球门AB所在的直线距离为ab时，射门可以命中球门的可能性最大.12．解：此题考查“变角”的技巧.由分析可知2α=（α－β）+（α+β）.由于2π＜α＜β＜4π3，可得到π＜α+β＜2π，0＜α－β＜4π.∴cos（α+β）=－54，sin（α－β）=135.∴sin2α=sin［（α+β）+（α－β）］=sin（α+β）cos（α－β）+cos（α+β）sin（α－β）=（－53）·1312+（－54）·135=－6556.13．证明：sin（α+β）sin（α－β）=（sinαcosβ+cosαsinβ）（sinαcosβ－cosαsinβ）=sin2αcos2β－cos2αsin2β=sin2α（1－sin2β）－（1－sin2α）sin2β=sin2α－sin2αsin2β－sin2β+sin2αsin2β=sin2α－sin2β，所以左边=右边，原题得证.计算sin220°+sin80°·sin40°，需要先观察角之间的关系.经观察可知80°=60°+20°，40°=60°－20°，所以sin220°+sin80°·sin40°=sin220°+sin（60°+20°）·sin（60°－20°）=sin220°+sin260°－sin220°=sin260°=43.分析：此题目要灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简.14．解：原式=［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）］·80sin22=［2sin50°+sin10°（1+310cos10sin）］·10cos22=［2sin50°+sin10°（10cos10sin310cos）］·10cos22=（2sin50°+2sin10°·10cos50cos）·2cos10°=22（sin50°cos10°+sin10°·cos50°）=22sin60°=6.15．解：（1）设t=sinx+cosx=2sin（x+4π）∈［－2，2］，则t2=1+2sinxcosx.∴2sinxcosx=t2－1.∴y=t2+t+1=（t+21）2+43∈［43，3+2］∴ymax=3+2，ymin=43.（2）若x∈［0，2π］，则t∈［1，2］.∴y∈［3，3+2］，即ymax=3+2ymin=3.