常见不等式通用解法

常见不等式通用解法总结一、基础的一元二次不等式，可化为类似一元二次不等式的不等式①基础一元二次不等式如2260xx，2210xx，对于这样能够直接配方或者因式分解的基础一元二次不等式，重点关注解区间的“形状”。当二次项系数大于0，不等号为小于（或小于等于号）时，解区间为两根的中间。2260xx的解为3(,2)2当二次项系数大于0，不等号为大于（或大于等于号）时，解区间为两根的两边。2210xx的解为(,12)(12,)当二次项系数小于0时，化成二次项系数大于0的情况考虑。②可化为类似一元二次不等式的不等式（换元）如1392xx，令3xt，原不等式就变为2320tt，再算出t的范围，进而算出x的范围又如2432xax，令2tx，再对a进行分类讨论来确定不等式的解集③含参数的一元二次不等式解法步骤总结：序号步骤1首先判定二次项系数是否为0，为0则化为一元一次不等式，再分类讨论2二次项系数非0，将其化为正的，讨论判别式的正负性，从而确定不等式的解集3若可以直接看出两根，或二次式可以因式分解，则无需讨论判别式，直接根据不同的参数值比较两根大小4综上，写出解集如不等式210xax，首先发现二次项系数大于0，而且此不等式无法直接看出两根，所以，讨论24a的正负性即可。此不等式的解集为220,0,{|}2440,(,)(,)22RaxRxaaaa又如不等式223()0xaaxa，发现其可以通过因式分解化为2()()0xaxa，所以只需要判定2a和a的大小即可。此不等式的解集为2201,{|}01,(,)(,)01,(,)(,)aoraxRxaaaaaoraaa又如不等式22(1)40axax，注意：有些同学发现其可以因式分解，就直接写成(2)(2)0axx，然后开始判断两根2a和2的大小关系，这样做是有问题的。事实上，这个题目中并没有说此不等式一定是一元二次不等式，所以参数a是有可能为0的。讨论完0a的情况再讨论0a和0a的情况。所以此不等式的解集应该是：0,(,2)20,(,2)21,(,)(2,)1,{|2}201,(,2)(,)aaaaaaxRxaa注意，0a和0a时解区间的状况不同，一种为中间，一种为两边。二、数轴标根法（又名穿针引线法）解不等式这种问题的一般形式是123()()()...()0nxaxaxaxa（或,,）步骤：①将不等式化为标准式，一段为0，另一端为一次因式的乘积（注意！系数为正）或二次不可约因式（二次项系数为正）。②画出数轴如下，并从最右端上方起，用曲线自右向左一次由各根穿过数轴。③记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。例如，求不等式(1)(2)(3)(4)0xxxx的解集，画出图如下，发现解集为(,1)(2,3)(4,)21123456432O1为什么数轴标根法是正确的呢？对于不等式(1)(2)(3)(4)0xxxx来说，要满足四项相乘为正，说明①四项均正，解集为(4,)②两正两负，只能是(1),(2)xx正，(3),(4)xx负，此时解集为(2,3)③四项均负，解集为(,1)。综上，解集为这三种情况的并集。当不等式左侧有奇数项的时候同理。由此可知，遇到奇数个一次项系数为负的情况，如果不把系数化为正的，结果一定是错误的。注意，这种方法要灵活使用，若不等式为2(1)(2)(3)(4)0xxxx，使用数轴标根法得到的解集显然和上述不一样，因为2(1)x是偶次项，必然非负，所以在“穿针引线”时，可以忽略，或者可以记住口诀“奇穿偶不穿”。2(1)(2)(3)(4)0xxxx的示意图见下。0.50.511.522.533.544.5O三、解分式不等式分式不等式的解题思路，前面讲了一些不等式的求解，都是讲不等式的一边化为0，另一边为含x的多项式。把一个分式不等式经过移项和通分处理，最终总能化为()0()fxgx（或,,的形式），此时解()()0fxgx就可以解出原不等式的解集。特别地，若要解()0()fxgx，则解()()0()0fxgxgx即可。例如22816xxx，移项化简得223206xxxx，使用穿针引线法得到解集为{|223}xxxx或1或，一定要注意分母不为零，而分子可以为零。例：一道比较复杂的题，求(1)1(1)2axax的解集，现写出此题的完整解题过程。解：原不等式通过移项通分可化为(1)(2)02axax，由于1a，所以可以进一步化为2(1)()102aaxax，两根为21aa和2。当1a时，解集为两根的两边，显然有221aa，所以此时解集为2(,)(2,)1aa当1a时，解集为两根中间，此时必须根据a的取值判断两根范围。①当01a时，221aa，此时解集为2(2,)1aa②当0a时，221aa，此时解集为③当0a时，221aa，此时解集为2(,2)1aa至此，a的所有值都讨论完毕，所以这道题讨论到这样就结束了当然，如果这道题不给1a的限制条件，只需要再讨论一下1a时的解集情况即可。补充内容：一类经典但易错的分式不等式问题①求11x的解集②求11x的解集③求11x的解集④求11x的解集⑤求132x的解集解答：①(0,1)②(,0)(1,)③(1,0)④(,1)(0,)⑤11(,)(,)32，注意①②的区别四、绝对值不等式对于含有绝对值的不等式，解题思想为①直接脱去绝对值符号()()()()()fxgxgxfxgx，()()()()()()fxgxfxgxfxgx或②构造函数，数形结合③在不等式的一端有多个绝对值时，使用零点分段法分类讨论（分类讨论思想随处可见）④平方法（不等式两边都是非负时才能用，慎用）例：图形法某经典问题，解不等式11ax，先画出1()1fxx的图像如下，然后分类讨论a的取值，通过观察()yfx和ya的图像，来确定不等式的解集情况。4.543.532.521.510.50.511.52654321123456gx()=1fx()=11x①当0a时，()yfx的图像在ya的图像上方，除了点(1,1)，此时显然不等式无解②当1a时，()yfx的图像与ya的图像交点为1(,1)2，此时的解集为1(,)2③当01a时，()yfx的图像与ya的图像交点横坐标为11,11aa，此时解集为11(,)11aa④当1a时，()yfx的图像与ya的图像交点横坐标为11,11aa，此时解集为11(,),(,)11aa当然此题使用()()()()()fxgxgxfxgx也可以做，化成11aax，只是在讨论的时候需要细心，考虑到a的所有取值。绝对值不等式的零点分段法，以及特别的做题技巧例如125xx，发现不等号左边有两个绝对值，所以应该根据两个不同的零点分段讨论①当1x时，原不等式化为215x，解得2x②当21x时，原不等式化为35，显然无解③当2x时，原不等式化为125x，解得3x综上，原不等式的解集为三种情况下的并集（注意，为什么是并集而不是交集？），(,3][2,)技巧：可以将绝对值看成距离，也就是将1x看成数轴上点x到点1的距离，将2x看成x到-2的距离，若画出数轴，发现位于区间[2,1]的点（绿色点）到区间端点的距离之和为3，位于区间[2,1]之外的点到区间端点的距离之和大于3，特别地，在2处和-3处距离之和为5，所以令x继续远离区间[2,1]，发现距离之和大于5。12-2也就是说12xx的取值范围是[3,]同理，遇到减号的情况，例如31xx，发现其取值范围是[4,4]此技巧常用于填空题，既可以求不等式解集，又可以求参数的范围。例1：若存在实数x使得不等式11xxa成立，则a的取值范围是？（答案[2,0]）例2：不等式212xx的解集是？（答案1(,]2）五、无理不等式无理不等式能出的考题较少，主要是要注意偶次根号下式子要非负。（终于可以用平方法了，但是也要讨论不等式两端的正负性才能使用）。对于奇次根号，由于不需考虑根号下式子的正负性，直接打开根号即可。()0()()()0gxfxgxfx或2()0()[()]gxfxgx（注意这里为什么没有写()0fx？）2()0()()()0()[()]gxfxgxfxfxgx