高中导数课件

变化率及导数1导数的计算2导数在研究函数中的应用3生活中优化问题举例4定积分的概念5第一章导数及其应用TankertankerDesign§1.1变化率及导数•问题1气球膨胀率•很多人都吹过气球，回忆一下在吹气球的过程中,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢？如何描述呢?TankertankerDesign若将半径r表示为体积V的函数,那么：当空气容量V从0L增加到1L,气球半径增加了：•我们知道，气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的•关系是：334)(rrV343)(VVr)(62.0)0()1(dmrr)/(62.001)0()1(Ldmrr气球的平均膨胀率为：TankertankerDesign•可以看出：随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小当空气容量V从1L增加到2L,气球半径增加了：气球的平均膨胀率为：)(16.0)1()2(dmrr)/(16.012)1()2(LdmrrTankertankerDesign•当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?2121()()rVrVVV思考？问题2高台跳水•在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：•如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:•在0≤t≤0.5这段时间里,•在1≤t≤2这段时间里,105.69.4)(2ttth);/(05.405.0)0()5.0(smhhv);/(2.812)1()2(smhhvv•计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:65490t(1)运动员在这段时间里是静止的吗?(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?1.1.1平均变化率•定义：式子称为函数从到的平均变化率.•令•则平均变化率可表示为：•注：并不是表示与的乘积•也是一样1212)()(xxxfxf)(xf1x2x12xxx)()(12xfxfyxyxxyTankertankerDesign理解•1，式子中、的值可正、可负，但的值不能为,的值可以为•2，若函数为常函数时，•3,变式xyxy0)(xf0yxxfxxfxxxfxf)()()()(111212为什么不能为零?如果无限接近零表示什么?0TankertankerDesign探索？？•观察的图像•平均变化率•表示什么？2x)(xf1212)()(xxxfxfOABxyx1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线AB的斜率若无限接近，此时平均变化率又表示什么又表示什么？1x2xTankertankerDesign•1、已知函数的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点,则=（）•A3B•CD•2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。•x-32)(-3xx2-3）（xxx02xxxf2)(xy/做两个题吧！)2,1(yxBTankertankerDesign求平均变化率一般步骤•求函数的增量•计算平均变化率)()(12xfxfy1212)()(xxxfxfxy1.1.2导数的概念••在高台跳水运动中,平均速•度不能反映他在这段时间里•运动状态，需要用瞬时速•度描述运动状态。我们把•物体某一时刻的速度称为•瞬时速度.又如何求瞬时速度呢?平均变化率的几何意义•平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.•那么如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度tthththv9.41.13)2()2(TankertankerDesign平均变化率的几何意义105.69.4)(2ttth时，在这段时间内时,在这段时间内当△t=–0.01时，当△t=0.01时，当△t=–0.001时,当△t=–0.0001时,当△t=0.0001时,△t=–0.00001,△t=0.00001,△t=–0.000001,△t=0.000001,…………0t]2,2[t0t]2,2[t1.139.4tv1.139.4tv051.13v149.13v0951.13v当△t=0.001时,1049.13v09951.13v10049.13v099951.13v100049.13v0999951.13v1000049.13v观察•的。是越来越接近时，当1.13-0tv从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度就无限趋近于t=2时的瞬时速度.因此,运动员在t=2时的瞬时速度是–13.1.•为了表述方便我们用•表示当t=2,•注：确定值-13.1，我们称是1.13)2()2(lim0ththt1.13-趋于确定值趋于零时，平均速度vt趋于零时的极限当t)2()2(thth探究•1、运动员在某一时刻的瞬时速度怎样表示？•2、示？处的瞬时变化率怎样表在函数0)(xxxf导数的定义•一般地，函数y=f(x)在时瞬时变化率是：•我们称它为函数•即：0xxxxfxxfx)()(lim0000|)()('0'0xxyxfxxxfy或时的导数，记作：在xxfxxfxfx)()(lim)(0000'注解：处的导数在关于自变量表示函数00'|xxyxxyTankertankerDesign关于导数的几点说明：•;)().1(000其导数值一般也不相同的值有关，不同的与xxxf的具体取值无关。与xxf)(0一概念的两个名称。瞬时变化率与导数是同).2(TankertankerDesign由导数的定义可知,求函数y=f(x)的导数的一般方法:•1.求函数的改变量2.求平均变化率3.求值);()(00xfxxff.lim)(00xfxfx;)()(00xxfxxfxf一差、二化、三极限TankertankerDesign例题•将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第h时,原油的温度（单位：）为(0≤x≤8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.•解：在第2h和第6h时,原油温度的•瞬时变化率就是)2(f).6(f和根据导数的定义,xfxf)2()2(37)(42xxxxxCo157)(2xxxfxTankertankerDesign•所以，.3)3(limlim)2(00xxffxx同理可得.5)6(f在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为–3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.CC练习:计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率,并说明它们的意义.•如果质点A按规律则在t=3s•时的瞬时速度为•A.6B.18C.54D.8132tsTankertankerDesign•TankertankerDesign1.1.3导数的几何意义•是什么呢？的几何意义附近的变化情况，那么在反映了时的瞬时变化率，在）表示函数（我们知道导数)()()(0'000'xfxxxfxxxfxf的变化趋势是什么？）时，割线于点（趋近沿着曲线如图，当点n00PP)(,)()4,3,2,1))((,(Pxfxxfnxfxnnn)1()2()3()4(PPPP1P2P3P4PxxxxyyyyOOOOTTTTTankertankerDesign•分析：割线斜率和此切线的斜率有什么关系呢？•想一想，算一算！处的切线。称为点这个确定位置的直线趋于确定的位置时，割线趋于点当点PPTPPPPnnxxxfxfkPPnnnn)()(斜率割线)(')()(limPT)(PTP0000nxfxxfxxfkkxxxfkPxn；即的斜率是切线处的导数就在的斜率。因此，函数无限接近切线时，无限接近点当点TankertankerDesign•导数的几何意义：函数在某一点的导数，就是该点的切线斜率。•练习：求：结论）处的切线方程，（在点41P3)(2xxf我得好好想想TankertankerDesign§1.2导数的计算•1.2.1几个常用函数的导数•其中c为常数cxfy)(1、0)()(xccxxfxxfxy0lim0xyx所以，0'ycyxyO。，即一直处于静止状态终为时速度始可以解释为某物体的瞬则数，表示路程关于时间的函如图若00)('ycy•所以，xxfy)(2、1xxxxxy1lim0xyx1'yxyxyO匀速直线运动。的速度为可以解释为某物体瞬时则数，表示路程关于时间的函如图若11)('yxyTankertankerDesign•2)(3xxfy、xxxxxxxy2)(22xxxxyyxx2)(limlim'002xyxyO增加的越来越快。的增加，随着时，减少的越来越慢；当的增加，随着时，表明：当看，在一点的瞬时变化率来数一方面，从导数作为函斜率也在发生变化。另的变化，切线的说明随着处切线的斜率为）图像（如图）上点（表示函数222002',2,2'xyxxxyxxxyxxyxxyxy它在时刻时的速度为某物体作变速直线运动，函数，则可以解释为若表示路程关于时间的2xyx2'yxx2TankertankerDesign•xy14、2200'1)1(limlim)()(11)()(xxxxxyyxxxxxxxxxxxxxfxxfxyxx）处的切线方程。函数在点（化情况，并求出仿上处理，描述它的变的函数图像，试着讨论一下，画出1,11xyTankertankerDesign•xxfy)(5、xxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxxfxy1)())(()()(xxxxxyxx211limlim00xy21'这个函数又如何描述呢？••的区别与)(')('0xfxf化情况。上每点切线斜率的变映了函数数，它反导数，本身表示一个函上每一点的表示的函数)()()('xfxfxf是一个数。示的）上的切线斜率，它表（上某一点表示的是函数000,)()('yxxfxfTankertankerDesign1.2.2基本初等函数导数公式及四则运算法则0)()(,)(1'xfccxf则为任意常数、若1'*)(),(2nnnxxfQnxxf则）（、若xxfxxfcos)(,sin)(3'则、若xxfxxfsin)(,cos)(4'则、若aaxfaxfxxln)(',)(5则，、若xxexfexf)(')(6，则、若axxfxfxaln1)('log)(7，则、若xxfxxf1)('ln)(8，则、若我要想法记住这些！导数的运算法则•1、•2、•3、)(')('')()(xgxfxgxf)(')()()(')]'()([xgxfxgxfxgxf)0)((,)()()(')()(')()(2'xgxgxfxgxgxfxgxfTankertankerDesign例题•[例1]求下列函数的导数：(1)y＝x12；(2)y＝1x4；(3)y＝5x3；(4)y＝2x；(5)y＝2sinx2cosx2.[解析](1)y′＝(x12)′＝12x11.(2)y′＝1x4′＝(x－4)′＝－4x－5＝－4x5.(