4.1对数及其运算(一)、(二)解析

4.1对数及其运算(一)如果a(a0,a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么b叫作以a为底N的对数,记作logaN=b底数真数对数概念a0,a≠1?log(-2)8log01log15log11不存在不存在不存在有无数个值对于某些N,值不存在对于某些N,值不存在对于某些N,值不存在对于N=1,值不唯一在实数范围内,正数的任何次方都是正数,所以ab=N中,N总是正数,即:零和负数没有对数.N0练一练将下列指数式写成对数式.01.010;48;644;2082.12323xlog1.0822=xlog464=3log84=log100.01=-232以1.082为底2的对数是x以4为底64的对数是3以8为底4的对数是以10为底0.01的对数是-232思考(1)式子ab=N和logaN=b(a0,a≠1,N0)有什么关系?logaN=bab=N底数(a0,a≠1)真数幂值指数对数对数式与指数式的关系思考(2)求对数loga1,logaa(a0,a≠1).对于a0,a≠1都有a0=1,a1=a所以loga1=0logaa=1?3log有什么关系与NaNa思考令b=logaN知ab=N即alogaN=N通常将以10为底的对数叫作常用对数,N的常用对数log10N简记作lgN.e是一个重要的常数,是无理数,它的近似值为2.71828.科学技术中常以e作为对数的底数,以e为底的对数称为自然对数.N的自然对数logeN简记作lnN.常用对数及自然对数讲解范例例1将下列指数式写成对数式：（1）（4）（3）（2）3225532log22121121log2813xx81log3614xx61log4练习1.把下列指数式写成对数式:（1）（3）（2）82338log23127313131log27208.1xx2log08.1256128（4）82561log2讲解范例（1）（4）（3）（2）例2将下列对数式写成指数式：01.0102201.0lg12515331251log510303.2e303.210ln27313327log31练习（1）（4）（3）（2）2将下列对数式写成指数式：811344811log3125533125log54122241log293229log327log)1(9625log)3(345例3计算：,27log)1(9x设解：23,33,27932xxx　　则　625log)3(345x设,625534x,55434x3x81log)2(3625log)3(5,81log)2(3x设4,33,8134xxx　　则　,625log)3(5x设4,55,62554xxx　　则　27log)1(9变式：81log)2(43,27log)1(9x设解：3,339,27932xxxx　　则　,81log)2(43x设1644,3344xxx　　则　1.求下列各式的值巩固练习（1）（4）（3）（2）100lg25log252121log211log503log313log311（5）（6）1loga0（7）aalog1（8）2.求下列各式的值练习（1）（4）（3）（2）1log5.009log91625log25210000lg464gol432log22（5）（6）思考:nmaaanm2.3log,2log求：　已知：12)(.3,22nmnmaaaa解：小结作业课本习题3-4A组1、2题3题中的（1）、（2）、（8)、(9)小题4.1对数及其运算(二)1.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质动手实践第一组式log28log232log2(8×32)值猜想性质)328(log32log8log2223581.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质动手实践第二组式lg1000lg100000值猜想性质531010lg3－25531010lg100000lg1000lg1.填出下表各组的值，并从数据中分析等量关系，猜想对数的运算性质动手实践第三组式log3355·log33值猜想性质3log53log353552,利用科学计算器,完成下表(精确到0.000001)并从数据中分析等量关系,猜想对数的运算性质1.0039371.1448461.3058650.0129520.0629060.397940lgM－lgN0.0129520.0629060.39794010.8654710.2159102.210411lgM·lgN6.5925760.9314453lgM+lgN6.5925760.9314453lg(MN)19492.71828120N20083.14159650MNMlglgNMlg对数的运算性质.logloglog3;loglog2;logloglog1,0,0,0,0NMNMRnMnMNMMNNMaaaaaanaaaa则如果对数的运算性质;logloglog1,0,0,0,0NMMNNMaaaaa则如果证明设logaM=p,logaN=q,则由对数定义得ap=M,aq=N.因为MN=apaq=ap+q,所以p+q=loga(MN),即loga(MN)=logaM+logaN思考交流1.判断下列各式是否成立,如果不成立,举一个反例..lglglglg4;lglglg3;lglglg2;lglglg1NMNMNMNMNMNMNMMN2.对数的运算性质有什么特点?求下列各式的值．(1)10lg3－10×log51＋πlogπ2；(2)alogab·logbc·logc1；(3)lglne；(4)log2－113＋22.例1【思路点拨】充分利用对数基本性质及恒等式．【解】(1)原式＝3－10×0＋2＝5.(2)∵logc1＝0，∴原式＝a0＝1.(3)∵lne＝1，∴lglne＝lg1＝0.(4)∵3＋22＝(2)2＋22＋1＝(2＋1)2，∴log2－113＋22＝log2－112＋1＝log2－1(2－1)＝1.【名师点评】有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．自我挑战2求下列各式的值．(1)71＋log75；(2)alogab·blogbc(a，b为不等于1的正数，c0)；(3)log22log21；(4)log5(lg10)解：(1)原式＝7·7log75＝7×5＝35；(2)原式＝bc；(3)原式＝log220＝log21＝0；(4)原式＝log51＝0.例2【思路点拨】先利用对数的性质及运算法则把各式化成统一的表示形式，然后再求值．计算下列各式的值：(1)12lg3249－43lg8＋lg245；(2)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)lg2＋lg3－lg10lg1.8.小结对数的概念loga1=0logaa=1alogaN=N零和负数没有对数.logloglog3;loglog2;logloglog1,0,0,0,0NMNMRnMnMNMMNNMaaaaaanaaaa则如果对数的运算性质