有理函数的不定积分解读

第四节有理函数的不定积分一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、小结有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP11101110)()(其中m、n都是非负整数；naaa,,,10及mbbb,,,10都是实数，并且00a，00b.假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn这有理函数是真分式；,)2(mn这有理函数是假分式；一、有理函数的积分利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.（1）分母中若有因式，则分解后为kax)(,)()(121axAaxAaxAkkk有理函数化为部分分式之和的一般规律：其中kAAA,,,21都是常数.特殊地：,1k分解后为;axA（2）分母中若有因式，其中kqpxx)(2则分解后为042qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk21222211)()(其中iiNM,都是常数),,2,1(ki.特殊地：,1k分解后为;2qpxxNMx真分式化为部分分式之和的待定系数法6532xxx)3)(2(3xxx,32xBxA),2()3(3xBxAx),23()(3BAxBAx,3)23(,1BABA,65BA6532xxx.3625xx例12)1(1xx,1)1(2xCxBxA)1()1()1(12xCxBxxA代入特殊值来确定系数CBA,,取,0x1A取,1x1B取,2xBA,并将值代入)1(1C.11)1(112xxx2)1(1xx练习解.1515221542xxx)1)(21(12xx),21)(()1(12xCBxxA,)2()2(12ACxCBxBA,1,02,02CACBBA,51,52,54CBA,1212xCBxxA)1)(21(12xx整理得例2求积分.)1)(21(12dxxx因此dxxxdxx2151522154dxxx)1)(21(12dxxdxxxx2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx例3求积分.)1(12dxxxdxxx2)1(1dxxxx11)1(112dxxdxxdxx11)1(112.)1ln(11lnCxxx解练习求dxxxx112324（P189）例4求dxxx42)1(2解令1xtdxxx42)1(2dttt422)1(ctttdtttt)111()321(32432cxxx])1(1)1(111[32例5求dxxx1解令1xu于是ududxux2,12duuuuduuudxxx12211222cuuduu)arctan(2)111(22cxx)1arctan1(2练习求dxxxx11（P191）由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数，一般记为)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx2sec2tan22xx,2tan12tan22xx,2sin2coscos22xxx二、三角函数有理式的积分2sec2tan1cos22xxx,2tan12tan122xx令2tanxu,12sin2uux,11cos22uuxuxarctan2duudx212dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR（万能置换公式）将含有sinx，cosx的积分化为关于u的有理函数的积分。例6求积分.cossin1sindxxxx解,12sin2uux2211cosuux,122duudx由万能置换公式dxxxxcossin1sinduuuu)1)(1(22duuuuuu)1)(1(112222duuuuu)1)(1()1()1(222duuu211duu11uarctan)1ln(212uCu|1|ln2tanxu2x|2sec|lnx.|2tan1|lnCx3.简单无理式的积分.1.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）2.三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）三、小结有理函数的原函数都是有理函数吗？思考题