数理统计期末B卷及答案

华东理工大学2014–2015学年第一学期《数理统计》课程期末考试试卷B2015.01开课学院：理学院，专业：数学,信计，考试形式：闭卷，所需时间120分钟考生姓名：学号：班级任课教师朱坤平题序一二三四五六七总分得分评卷人附表:20.95(4)9.488χ=,0951317709.t().=,776.2)4(975.0=t,09751321604.t().=,097567512.F(,).=,097576570.F(,).=,0.95(2,6)5.14F=,0.95(2,17)3.59F=一.单选题(每小题3分,共39分)1.设总体()mX~N,μΣ,样本协方差矩阵为S,则(C)A.S是Σ的矩法估计B.S是Σ的极大似然估计C.S是Σ的无偏估计D.S=Σ2.在正交试验设计中,若有2个因子,每个因子各有3个水平,不考虑交互作用,应该选取的正交表为（A）A.)3(49LB.)3(1327LC.)2(34LD.)23(412×L3.以下可能导致复共线性问题的选项是(B)A.观测次数n大大超过自变元个数mB.自变元间线性相关C.自变元间相互独立D.回归模型不显著4.设12n(X,X,,X)L为取自正态总体2~N(,)ξμσ的样本.错误的选项是(C)A.样本12n(X,X,,X)L服从n维正态分布B.样本均值2X~N(,)nσμC.1205nP{X,X,,X}.μμμ=LD.05P{X}.μ≥=5.设4321,,,YYYY均取自于总体)1,0(~NY的样本，则有(A）A.~321242322YYYY++31F(,)B.212221233Y~YYY++13F(,)C.121Y~t()YD.122212333Y~t()(YYY)/++6.对同一个总体参数的区间估计，算得的置信区间长度最大的是(D)A．n=100,置信水平＝0.90B．n=100,置信水平＝0.95C．n=90,置信水平＝0.90D．n=90,置信水平＝0.957.关于变元X与Y的线性回归问题,若总离差平方和SST=100,残差平方和SSE=19,则下列选项可能错误的是(C)A.回归平方和SSR=81B.判定系数2R为0.81C.变元X与Y的样本相关系数为0.9D.因变元Y与其回归估计值ˆY的样本相关系数为0.98.主成分的下列选项,错误的是(D)A.主成分的个数不超过原变量的个数B.各主成分互不相关C.所有主成分的贡献率之和等于1D.所有主成分的修正样本方差之和等于19.假设检验中的显著性水平α一般选取为0.01或0.05,如果你是厂家的老板,质检局要对你厂产品是否符合国家标准进行检验,对你有利的是(A)A.选取α为0.01B.选取α为0.05C.都一样D.不能确定10.在显著性水平0.01下要检验数字0-9在圆周率31415926.π=L中出现的概率是否相同,可统计圆周率的前n位中,数字0-9分别出现的次数,并据此作分布的拟合检验,那么该检验的原假设0H及0H的接受域分别为(C)A.0H:各数字出现的概率相同,200995[0(9)].W,χ=B.0H:各数字出现的概率不同,20099[0(n-1)].W,χ=C.0H:各数字出现的概率相同,20099[0((9)].W,χ=D.0H:各数字出现的概率不同,200995[0((n-1)].W,χ=11.在一个确定的假设检验中，与判断结果有关的因素是(D)A.样本值与样本容量B.显著性水平αC.检验统计量D.三个选项A,B,C都有关12.总体X～2(,)Nμσ，2σ已知，要使总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间长不大于L,则n≥(B)A.152σ/2LB.15.36642σ/2LC.162σ/2LD.1613.设总体X～(1,)Bp12,(,,,)nXXX⋅⋅⋅是来自X的样本，则有(C)A.当n充分大时，近似有X～(1),ppNpn−⎛⎞⎜⎟⎝⎠B.{}(1),kknknPXkCpp−==−0,1,2,,kn=⋅⋅⋅C.{}(1),kknknkPXCppn−==−0,1,2,,kn=⋅⋅⋅D.{}(1),1kknkinPXkCppin−==−≤≤二.(6分)设总体X服从参数为λ的泊松分布，{}(012)kPXkek,,,k!λλ−===L(nXXL,1)是X的简单随机样本，X为样本均值,2*S为修正样本方差.试证明：()212*XS+是参数λ的无偏估计证明:()()()()22211112222***E[XS]EXS[EXES]()λλλ+=+=+=+=故有()212*XS+是参数λ的无偏估计二“设ˆθ是参数θ的无偏估计,试证明:若0ˆD()θ≠,则2ˆ()θ不是2θ的无偏估计证明:反证法,若2ˆ()θ不是θ的无偏估计,即22ˆE()θθ=又ˆθ是参数θ的无偏估计,即ˆE()θθ=于是有22220ˆˆˆD()E()[E()]()[]θθθθθ=−=−=,与0ˆD()θ≠矛盾.故2ˆ()θ不是2θ的无偏估计三.(10分)用三台电压表来测量某线路的电压,测得数据如下：试通过方差分析说明在显著性水平05.0=α下,三个电压表的读数有无显著差异?解：三个电压表的读数互相独立，都服从正态分布，且有相同的方差设三个电压表的读数分别为2~(,)1,2,3iiNiξμσ=0123:Hμμμ==-----2’21()rAiiiSSmXX==−=∑0.5925;2111()rrteiijiiijSSSSXX=====−=∑∑∑0.5075------4’因F=3.502510.95(1,)(2,6)5.14FrnrFα−−−==故接受0,H认为三个电表的读数没有显著性差异------4’四.(10分)我们学过的许多统计方法(比如方差分析,回归分析等)都是以正态性,独立性和方差齐性为前提的.简述如何根据样本数据来判断这些前提是否成立?解:可按如下答案要点展开,每个性质答对一个要点得1分,过程说明得2分:1)正态性:分布拟合检验;概率纸检验;P-P图等2)独立性:独立性检验;(残差的)散点图3)方差齐性:样本方差比较;F检验;残差图电压表电压读数A1100.5101.2100.4A2100.2100.4100.5100.4A3100.299.8五.(11分)设(12,,,nXXX⋅⋅⋅)为总体X的一个样本,X的密度函数为1,01()0,xxfxββ−⎧=⎨⎩其他，0β.试求参数β的矩估计量和极大似然估计量.解:(1)110dd1Exf(x)xxxxββξββ+∞−−∞===+∫∫。解方程1Xββ=+,得到矩法估计1XˆXβ=−---5’(2)先求似然函数：1niiLf(x)==∏111101120nnniiiiixxx(i,,,n)ββββ−−==⎧==⎪=⎨⎪⎩∏∏L其他当0≠L时，对L取对数，得到11niilnLnln()lnxββ==+−∑解方程ddlnLβ=10niinlnxβ=+=∑，得到极大似然估计:11111nniiiinˆlnXlnXlnXnβ==−−−===∑∑----6’六.(11分)顺通出租汽车公司为确定合理的管理费用，需要研究出租车司机每天的收入（元）与他的行驶时间（小时）和行驶里程（千米）之间的关系，为此随机调查了20个出租车司机，根据每天的收入（y）、行驶时间（x1）和行驶里程（x2）的有关数据进行线性回归，得到下面的有关结果：方程的截距042.38b=截距的标准差0b36.59s=回归平方和SSR=29882回归系数19.16b=回归系数的标准差1b4.78s=剩余平方和SSE=5205回归系数20.46b=回归系数的标准差2b0.14s=根据上面的部分计算结果回答下面的问题：1)．写出每天的收入（y）与行驶时间（x1）和行驶里程（x2）的线性回归方程2)．求判定系数R2和估计标准误差ˆσ3)．问在显著性水平0.05α=下，能否认为回归模型的线性关系是显著的？解:1)回归方程为：1242.389.160.46yxx=++.---2’2)判定系数R2=回归平方和/总离差平方和.即：2SSRSSR298820.8517SSTSSRSSE298825205R====++---2’估计标准误差为：2ˆ()SSE5205ˆ17.4979112021iiyynmnmσ−===≈−−−−−−∑-----2’3)．这是一个线性关系的显著性检验问题.原假设0H：线性关系不显著，备选假设1H：线性关系显著SSR/29882/229882/21494148.80SSE/(1)5205/(2021)5205/17306.1765kFnk=====−−−−原假设的拒绝域为1(2,17)3.59FFα−=.因48.83.59，故拒绝原假设，即线性关系显著.--------5’七.(13分)甲、乙两台机床加工同一种零件，从这两台机床加工的零件中，随机抽取一些样品，测得它们的外径（单位：mm）如下：机床甲20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9机床乙19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2根据抽样数据算得:甲已两机床零件的样本均值分别为925.19=X,000.20=Y;样本修正标准差分别为46522.0*=xS,62981.0*=yS.假定零件的外径服从正态分布，问：（1）是否可以认为两台机床加工零件外径的方差相等？（显著水平05.0=α）（2）能否认为甲机床加工零件的外径显著地小于乙机床加工零件的外径？（05.0=α）(3)求甲已两机床加工的零件外径之差水平为95%的置信区间.解设甲、乙两台机床加工零件的外径分别为ξ～),(211σμN和η～),(222σμN。8=m，925.19=X，46522.0*=xS，21643.0*2=xS；7=n，000.20=Y，62981.0*=yS，39667.0*2=yS。（1）问题相当于要检验0H：2221σσ=。5456.039667.021643.0**22===yxSSF。对05.0=α，查F分布表，可得70.5)6,7()1,1(975.021==−−−FnmFα，195.012.51)7,6(1)1,1(1)1,1(975.0212===−−=−−−FmnFnmFαα，因为70.55456.0195.0=F，所以接受0H：2221σσ=，可以认为两台机床加工零件的外径的方差相等。-----------4’（2）问题相当于要检验0H：12μμ≥,112H:μμ54737.027839667.0)17(21643.0)18(2*)1(*)1(22=−+×−+×−=−+−+−=nmSnSmSyxw，2647.0718154737.0000.20925.1911−=+×−=+−=nmSYXTw对05.0=α，查t分布表可得109521317709.t(mn)t().α−+−==因为02647T.=−-09513.t()，所以接受0H：12μμ≥，故不能认为甲机床加工零件的外径显著地小于乙机床加工零件的外径.-----5’(3)11221111[2+2]wwXYt(mn)S,XYt(mn)Smnmnαα−−−−+−+−+−+09750975[199252000013028331992520000+1302833]....t().,..t().=−−×−×[199252000021604028331992520000+2160402833]....,....=−−×−×[-0.687,0.537]=------4’