2-1-2(二)直线的方程课件(北师大版必修二)

1．2直线的方程(二)【课标要求】1．掌握直线方程的两点式和一般式．2．了解平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程来表示．3．能将直线方程的几种形式进行互相转换，并弄清各种形式的应用范围．【核心扫描】1．利用直线的两点式和一般式求直线方程．(重点)2．直线方程几种形式的选择．(难点)3．直线方程中的隐含条件易被忽略．(疑点)自学导引1．直线方程的两点式(1)方程：过点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线的两点式方程为y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1.如右图所示．(2)说明：与垂直的直线没有两点式方程．坐标轴2．直线方程的截距式(1)方程：与两坐标轴的交点分别是P(a,0)，Q(0，b)(其中ab≠0)的截距式方程为xa＋yb＝1.如右图所示．(2)说明：一条直线与x轴的交点为(a,0)，其横坐标a叫做这条直线在x轴上的；与坐标轴垂直和过的直线均没有截距式．截距原点3．直线方程的一般式(1)定义：关于x，y的二元一次方程(A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式．(2)斜率：直线Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)，当B≠0时，其斜率是－AB，在y轴上的截距是－CB；当B＝0时，这条直线垂直于轴，斜率不存在．Ax＋By＋C＝0x4．二元一次方程与直线的关系二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条．二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的．坐标直线想一想：在方程Ax＋By＋C＝0中，A，B，C为何值时，方程表示的直线平行于y轴？提示若直线平行于y轴，则直线的斜率不存在，即B＝0，此时方程化为Ax＋C＝0，又当C＝0时，该直线与y轴重合．故当A≠0，B＝0，且C≠0时，方程表示的直线平行于y轴．名师点睛1．在选用直线方程的几种形式时，要注意方程的局限性；以及截距和距离不相同．(1)直线方程的有些表达形式是有限制条件的，点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线；两点式和截距式不能表示与坐标轴平行或重合的直线，并且截距式不能表示过原点的直线．(2)截距和距离不同，截距是实数，可正、可负、可为零，而距离是非负数，解题时若不注意这些限制条件，思维不严密，考虑不周全就很容易出错．2．截距式xa＋yb＝1的作用(1)截距式有很大的局限性，除了不能表示与坐标轴垂直的直线外，还不能表示过原点的直线．(2)与坐标轴围成的三角形问题一般选用截距式，但要注意用截距表示距离时不要忘了加绝对值．3．一般式与几种特殊形式的区别与联系(1)联系：都反映了确定直线位置需要两个独立条件；(2)区别：几种特殊形式主要揭示直线的几何特征，一般式主要揭示坐标平面内的直线与二元一次方程的关系．题型一直线方程的两点式和截距式【例1】四边形的顶点为A(－1,0)，B(0，－2)，C(2,0)，D(1,2)，求这个四边形四条边所在的直线方程．[思路探索]数形结合，利用两点式或截距式写出四边形四条边所在的直线方程，最后将结果化为一般式．解由截距式，得AB边所在直线为：x－1＋y－2＝1，即：2x＋y＋2＝0，BC边所在直线为：x2＋y－2＝1，即x－y－2＝0，由两点式，得CD边所在直线为：y－02－0＝x－21－2，即：2x＋y－4＝0，AD边所在直线为：y－02－0＝x＋11＋1，即：x－y＋1＝0.规律方法(1)已知直线上的两点的坐标A(x1，y1)，B(x2，y2)，求其方程时，可首先考虑两点式方程，需特别注意的是两点式使用的前提条件为x1≠x2，y1≠y2.(2)若题设中告诉的两点坐标恰好是与坐标轴交点的坐标，则可首选两点式的特殊形式——截距式．【变式1】已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，求三角形三边所在直线的方程．解如图所示，直线AB过A(－5,0)，B(3，－3)两点．由两点式，得y－0－3－0＝x－－53－－5，即3x＋8y＋15＝0，∴直线AB的方程为3x＋8y＋15＝0.直线BC在y轴上的截距为2.又斜率是kBC＝2－－30－3＝－53，由斜率式，得y＝－53x＋2，即5x＋3y－6＝0，∴直线BC的方程为5x＋3y－6＝0.直线AC在x轴，y轴上的截距分别是－5,2，由截距式，得x－5＋y2＝1，即2x－5y＋10＝0，∴直线AC的方程是2x－5y＋10＝0.题型二直线的一般式方程【例2】方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6满足下列条件，请根据条件分别确定实数m的值．(1)方程能够表示一条直线；(2)方程表示一条斜率为－1的直线．[思路探索]对于Ax＋By＋C＝0表示直线，必须A、B不全为0，在B≠0时，斜率k＝－AB.解(1)由m2－2m－3＝0，得m＝－1或3.由2m2＋m－1＝0，得m＝－1或12.由已知，得m2－2m－3和2m2＋m－1不能同时为0，所以m≠－1.(2)根据k＝－AB即可求解．由题意，得2m2＋m－1≠0，－m2－2m－32m2＋m－1＝－1.①②由①式，得m≠－1且m≠12.由②式，得m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或m＝－2.∵m≠－1，∴m＝－2.规律方法针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax＋By＋C＝0进行变形是解决这类问题的关键．【变式2】已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线不经过第二象限，求实数a的取值范围．解(1)将直线l的方程整理为y－35＝ax－15，∴l的斜率为a，且过定点A15，35，而点A15，35在第一象限，故l过第一象限．(2)直线OA的斜率为k＝35－015－0＝3.∵l不经过第二象限，∴a≥3，即实数a的取值范围是[3，＋∞)．题型三直线方程的综合应用【例3】(12分)某房地产公司要在荒地ABCDE上划出一块长方形地面(不改变方位)，拟建造一幢八层的公寓楼，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．(精确到1m2)审题指导在解决一些实际应用题时，建立适当的直角坐标系，可以达到数形结合的目的，事半功倍．【解题流程】建立平面直角坐标系→求出线段AB的方程→建立公寓占地面积函数→求最值[规范解答]建立如图所示的平面直角坐标系，则线段AB的方程为x30＋y20＝1(0≤x≤30)．(3分)设点P的坐标为(x，y)，则y＝20－2x3.(5分)∴公寓占地面积为S＝(100－x)(80－y)＝(100－x)80－20＋2x3＝－23(x2－10x＋25)＋503＋6000＝－23(x－5)2＋503＋6000(0≤x≤30)．(9分)∴当x＝5时，Smax＝6000＋503≈6017.(11分)即点P的坐标为5，503时，即以DC、DE为邻边，长为100－5＝95(m)，宽为80－503＝1903(m)作长方形C′DE′P时，公寓的占地面积最大，最大面积约为6017m2.(12分)【题后反思】本题是一个实际应用题，它不仅涉及到直线方程的求法、函数建模思想、消元思想、二次函数最值求解等知识的综合应用，而且更重要的是通过解析法的思想，建立适当的坐标系把实际问题转化成数学问题来求解．在今后的学习中应关注这一问题．【变式3】一根铁棒在20℃时，长10.4025米，在40℃时，长10.4050米，已知长度l和温度t的关系可以用直线方程来表示，试求出这个方程，并且根据这个方程，求这根铁棒在25℃时的长度．解由已知得，这条直线经过两点(20,10.4025)和(40，10.4050)，根据直线的两点式方程得：l－10.402510.4050－10.4025＝t－2040－20，即l＝0.0025×t20＋10.4000.当t＝25时，l＝0.0025×2520＋10.4000≈10.4031，即铁棒在25℃时的长度约为10.4031米．误区警示因忽视题目的隐含条件而出错【示例】如果直线(m＋2)x＋(m2＋3m＋2)y＝m＋2与y轴平行，求m的值．[错解]∵直线与y轴平行，∴m2＋3m＋2＝0.解得m＝－1或m＝－2.∴当m＝－1或m＝－2时直线与y轴平行．由于方程Ax＋By＋C＝0表示直线，本身隐含着A2＋B2≠0这一条件．[正解]∵直线与y轴平行，∴m2＋3m＋2＝0.解得m＝－1或m＝－2.当m＝－2时，直线方程(m＋2)x＋(m2＋3m＋2)y＝m＋2为0·x＋0·y＝0，它不表示直线，应舍去．故当m＝－1时直线与y轴平行．在一般式Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中，若B＝0，则x＝－CA，它表示一条与y轴平行或重合的直线；若A＝0，则y＝－CB，它表示一条与x轴平行或重合的直线．单击此处进入活页限时训练