2-1-2直线的方程(一)课件(北师大版必修二)

1．2直线的方程(一)【课标要求】1．理解直线方程的含义．2．掌握并能熟练应用直线的点斜式方程及使用条件．3．掌握并能熟练应用直线的斜截式方程及使用条件．【核心扫描】1．熟练求出满足已知条件的直线方程．(重点)2．常与函数、方程等结合命题．(难点)3．待定系数法求直线方程．(方法)自学导引1．直线的方程一般地，如果一条直线l上任一点的都满足一个方程，满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的都在直线l上，我们就把这个方程称为直线l的方程．坐标(x，y)点想一想：如何理解直线的方程的定义？提示(1)“直线l上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程”，说明直线l上没有坐标不满足方程的点，也就是说直线l上所有的点都适合这个方程而毫无例外．(2)“满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线l上”，说明适合方程的所有点都在直线l上而毫无遗漏．只有具备了以上两点，某个方程才能与直线l的方程建立一一对应关系．2．直线方程的点斜式(1)方程：过点P(x0，y0)，斜率为k的直线方程的点斜式为．如图①所示．①②(2)说明：过点P(x0，y0)，且与垂直的直线没有点斜式，其方程为.如上图②所示．y－y0＝k(x－x0)x轴x＝x03．直线方程的斜截式(1)方程：斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)的直线方程的斜截式为.如右图所示．(2)说明：一条直线与y轴的交点为(0，b)，其纵坐标b叫做这条直线在y轴上的；倾斜角是的直线没有斜截式．y＝kx＋b截距90°名师点睛1．直线的点斜式方程要注意到y－y0x－x0＝k与y－y0＝k(x－x0)是不同的，前者表示的直线上缺少一个点P(x0，y0)，而后者才是过点P(x0，y0)，斜率为k的直线．2．直线的斜截式方程(1)方程y＝kx＋b的左端系数恒为1，右端x的系数k和常数项b有明显的几何意义；①k的几何意义是直线的斜率．②b的几何意义是直线在y轴上的截距．③截距是直线与y轴交点的纵坐标，不是距离，它可以是任意的实数．当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0且b≠0时，y＝b表示与x轴平行的直线；当k＝0且b＝0时，y＝0表示与x轴重合的直线．(2)斜截式方程与一次函数的表达式相同，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；当k＝0时，y＝b不是一次函数；一次函数y＝kx＋b(k≠0)必是一条直线的斜截式方程．题型一直线的点斜式方程【例1】根据条件写出下列直线的方程：(1)经过点A(－1,4)，斜率k＝－3；(2)经过点C(4,2)，倾斜角为90°；(3)经过坐标原点，倾斜角为60°.[思路探索]根据倾斜角求出直线的斜率，再根据点斜式求出直线的方程．解(1)这条直线经过点A(－1,4)，斜率k＝－3，点斜式方程为y－4＝－3[x－(－1)]，可化为3x＋y－1＝0.(2)由题意知，直线垂直于x轴，所以直线的方程为x＝4.(3)由题意知，直线的斜率为3，所以直线的方程为y＝3x.规律方法利用点斜式求直线方程的步骤是：(1)判断斜率k是否存在，并求出存在时的斜率；(2)在直线上找一点，并求出其坐标；(3)代入公式．【变式1】求满足下列条件的直线方程：(1)过点P(－4,3)，斜率k＝－3；(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；(3)过点P(5，－2)，且与y轴平行；解(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k＝－3，∴由直线方程的点斜式，得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，即3x＋y＋9＝0.(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式，可得直线方程为y－(－4)＝0(x－3)，即y＝－4.(3)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x＝5.题型二直线的斜截式方程【例2】根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y轴上的截距是－5；(2)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.[思路探索]解答本题先确定斜率和在y轴上截距，然后再直接由斜截式写方程．解(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y＝2x－5.(2)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3，∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.规律方法(1)已知直线斜率或直线与y轴交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．(2)利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y轴上也没有截距．【变式2】写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率是3，在y轴上的截距是－2；(2)倾斜角是30°，过(2,1)点；(3)在x轴截距为4，在y轴截距为－2.解(1)y＝3x－2.(2)∵斜率为tan30°＝33，∴直线的点斜式方程为y－1＝33(x－2)，即y＝33x－233＋1.(3)∵在x轴截距为4，在y轴截距为－2，∴过点(4,0)，又过点(0，－2)，∴k＝－2－00－4＝12，∴y＝12x－2.题型三点斜式、斜截式的综合应用【例3】(12分)已知直线l经过点P(－5，－4)，且l与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l的方程．审题指导解答本题应先设出方程，利用待定系数法来求解．【解题流程】设方程→表示出题目中的条件→列出方程→求出斜率k→写出直线方程[规范解答]∵直线l经过点P(－5，－4)，由题设知，l与两坐标轴不垂直．∴可设直线l的方程为y－(－4)＝k[x－(－5)]．(2分)即y＋4＝k(x＋5)，则直线l在x轴上的截距为4k－5，在y轴上的截距为5k－4.(4分)根据题意，得12·4k－5·|5k－4|＝5，即(5k－4)2＝10|k|.(8分)当k0时，原方程可化为(5k－4)2＝10k，解得k1＝25，k2＝85；当k0时，原方程可化为(5k－4)2＝－10k，此方程无实数解．(10分)故直线l的方程为y＋4＝25(x＋5)，或y＋4＝85(x＋5)．(12分)【题后反思】类似直线在y轴上的截距定义，当直线与x轴的交点为(a,0)时，称a为直线在x轴上的截距，直线在两坐标轴上的截距可正、可负也可以是零，本题在判定所求直线斜率存在后，设出过点P(－5，－4)，斜率为k的直线方程y＋4＝k(x＋5)，再利用三角形面积确定k值，这种方法是待定系数法，当确定直线的两个几何要素：“一定点”和“斜率”有一个为已知条件时，常常采用这种方法．【变式3】已知直线l经过点P(3,4)，并且与x轴、y轴都相交，若直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程．解设直线l的方程为y－4＝k(x－3)(k≠0)．直线l在x轴上的截距3－4k，直线l在y轴上的截距4－3k，则3－4k＝4－3k，得k＝43或k＝－1，故直线l的方程为y－4＝43(x－3)或y－4＝－(x－3)，即4x－3y＝0或x＋y－7＝0.方法技巧待定系数法求直线方程待定系数法是求直线方程最基本、最常用的方法，但要注意选择形式．一般地，已知一点就待定斜率k，但应注意讨论当斜率k不存在时的情形．如果已知斜率k，一般选择斜截式，待定纵截距b；如果已知直线与坐标轴围成三角形的问题就选择截距式，待定横截距和纵截距．一般说来，待定几个系数就应列出几个方程．有的直线方程可以同时选用几种形式，但选择的形式不同，运算繁简程度就不同．【示例】求过点P(－4,2)且与x轴的交点到(1,0)的距离为5的直线方程．[思路分析]设出直线方程，利用题设条件求出待定系数即可．解(1)当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，则其方程为y－2＝k(x＋4)．∴其与x轴的交点为－4－2k，0，∴－4－2k－1＝5，解得k＝－15.故所求直线方程为x＋5y－6＝0.(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝－4，也适合题意．故所求直线方程为x＋5y－6＝0或x＝－4.方法点评经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可分为两类：a．斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)．b．斜率不存在的直线，方程为x＝x0.单击此处进入活页限时训练