MATLAB应用-求解非线性方程

第7章求解非线性方程7.1多项式运算在MATLAB中的实现一、多项式的表达n次多项式表达为：naxaxaxap(x)1-n1-n1n0，是n+1项之和在MATLAB中，n次多项式可以用n次多项式系数构成的长度为n+1的行向量表示[a0,a1,……an-1,an]二、多项式的加减运算设有两个多项式naxaxaxap1(x)1-n1-n1n0和mbxbxbxbp2(x)1-m1-m1m0。它们的加减运算实际上就是它们的对应系数的加减运算。当它们的次数相同时，可以直接对多项式的系数向量进行加减运算。当它们的次数不同时，应该把次数低的多项式无高次项部分用0系数表示。例2计算1635223xxxxa=[1,-2,5,3];b=[0,0,6,-1];c=a+b例3设6572532345xxxxxxf，3532xxxg，求f(x)+g(x)f=[3,-5,2,-7,5,6];g=[3,5,-3];g1=[0,0,0,g];%为了和f的次数找齐f+g1,f-g1三、多项式的乘法运算conv(p1,p2)例4在上例中，求f(x)*g(x)f=[3,-5,2,-7,5,6];g=[3,5,-3];conv(f,g)四、多项式的除法运算[Q,r]=deconv(p1,p2)表示p1除以p2，给出商式Q(x)，余式r(x)。Q,和r仍为多项式系数向量例4在上例中，求f(x)/g(x)f=[3,-5,2,-7,5,6];g=[3,5,-3];[Q,r]=deconv(f,g)五、多项式的导函数p=polyder(P)：求多项式P的导函数p=polyder(P,Q)：求P·Q的导函数[p,q]=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。参数P,Q是多项式的向量表示，p,q也是多项式的向量表示。例4求有理分式100765105853236910245xxxxxxxxxxf的导函数P=[3,5,0,-8,1,-5];%有理分式分子Q=[10,5,0,0,6,0,0,7,-1,0,-100];%有理分式分母[p,q]=polyder(P,Q)六、多项式求根多项式求根就是求满足多项式p(x)＝0的x值。N次多项式应该有n个根。这些根可能是实根，也可能是若干对共轭复根。其调用格式是x=roots(P)其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即x(1),x(2),…,x(n)分别代表多项式的n个根。该命令每次只能求一个一元多项式的根，该指令不能用于求方程组的解，必须把多项式方程变成Pn(x)=0的形式；例4求方程123xx的解。首先将方程变成Pn(x)=0的形式：0123xxroots([1-10-1])例5求多项式x4+8x3-10的根。A=[1,8,0,0,-10];x=roots(A)若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为：P=poly(x)若x为具有n个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。例6已知f(x)=3x5+4x3-5x2-7.2x+5(1)计算f(x)=0的全部根。(2)由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。P=[3,0,4,-5,-7.2,5];X=roots(P)%求方程f(x)=0的根G=poly(X)%求多项式g(x)将这个结果乘以3，就与f(x)一致7.2求解非线性方程f(x)=0方程求根的一般形式是求下列方程的根：f(x)=0(l)实际上，就是寻找使函数f(x）等于零的变量x，所以求方程（l）的根，也叫求函数f(x）的零点。如果变量x是列阵，则方程（l）就代表方程组。当方程（l）中的函数f(x）是有限个指数、对数、三角、反三角或幂函数的组合时，则方程（l）被称为超越方程，例如e-x-sin（πx/2)＋lnx=0就是超越方程。当方程（l）中的函数f（x）是多项式时，即f（x）＝Pn（x）=anxn+an-1xn＋…＋alx+a0，则方程（l）就成为下面的多项式方程，也称代数方程：Pn（x）=anxn+an-1xn＋…＋alx+a0=0(2)Pn（x）的最高次数n等于2、3时，用代数方法可以求出方程（2）的解析解，但是，当n≥5时，伽罗瓦（Galois）定理已经证明它是没有代数求根方法的。至于超越方程，通常很难求出其解析解。所以，方程（l）的求解经常使用作图法或数值法，而计算机的发展和普及又为这些方法提供了广阔的发展前景，使之成为科学和工程中最实用的方法之一。本章首先介绍求解f(x)=0的MATLAB符号法指令，然后介绍求方程数值解的基本原理，最后再介绍求解f(x)=0的MATLAB数值法指令。一、符号方程求解在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。当方程右端为0时，方程可以不标出等号和0，仅标出方程的左端。solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。solve(s1,s2,…,sn,v1,v2,…,vn)：求解符号表达式s1,s2,…,sn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,…,vn。例1．解下列方程。1．22144212xxxxx=solve('1/(x+2)+4*x/(x^2-4)=1+2/(x-2)','x')2．17433xxxf=sym('x-(x^3-4*x-7)^(1/3)=1')x=solve(f)3．143sin2xx=solve('2*sin(3*x-pi/4)=1')4．010xxexx=solve('x+x*exp(x)-10','x')%仅标出方程的左端二、求方程f(x)=0数值解的基本方法并非所有的方程f(x)=0都能求出精确解或解析解，不存在这种解的方程就需要用数值解法求出近似解，有几种常见的数值解法基本原理：二分法。1求实根的二分法原理设方程f(x)=0中的函数f(x）为实函数，且满足：①函数f(x）在[a,b]上单调、连续；②方程f(x)=0在（a,b）内只有一个实根x*。则求方程f(x)=0的根，就是在（a,b）内找出使f(x）为零的点x*：f(x*)=0，即求函数f(x)的零点。因为f(x）单调连续，由连续函数的性质可知，若任意两点aj，bj[a,b]，而且满足条件f(aj)f(bj)0，则闭区间[aj,bj]上必然存在方程的根x*，即x*[aj,bj]。据此原理提出求实根的二分法如下图所示，图1方程求根二分法原理示意图先用中点21bab将区间[a,b]平分为两个子区间(a,b1）和（b1,b)，方程的根必然在子区间两端点上函数值之积小于零的那一半中，即不在(a,b1）内，就在（b1,b)内，除非f(b1)=0，于是寻根的范围缩小了一半。图1中的根x*在区间中点左侧，即x*(a,bl）。再将新的含根区间(a,b1）分成两半，重复上述步骤确定出更新的含根子区间。如此重复n次，设含根区间缩小为（an,bn），则方程的根x*（an,bn）,这一系列含根的子区间满足：(a,b)D(al,bl)(a2,b2)…(a0，b0）…由于含根区间范围每次减半，子区间的宽度为nnnabab2(n=1,2,….)，显然当n→时，(bn一an）→0，即子区间收敛于一点x*，这个点就是方程的根。若n为有限整数，取最后一个子区间的中点2nnnbax作为方程根的近似值，它满足f(xn）≈0，于是有：12221*nnnababxx这就是近似值xn的绝对误差限。假定预先要求的误差为，由12nab便可以求出满足误差要求的最小等分次数n。下面是二分法的程序function[c,err,yc]=bisect(f,a,b,delta)%Input-fisthefunctioninputasastring‘f’%-aandbaretheleftandrightendpoints%.-deltaisthetolerance%Output-cisthezero%-yc=f(c)%-erristheerrorestimateforcya=feval(f,a);yb=feval(f,b);ifya*yb0,break,end%表示无解，结束maxl=l+round((log(b-a)-log(delta))/log(2));%从误差表达式得到最小等分次数nfork=1:max1c=(a+b)/2;%取区间中点yc=feval(f,c);ifyc==0a=c;b=c;%这时解已经找到elseifyb*yc0b=c;%区间减半yb=yc;elsea=c;ya=yc;endifb-adelta,break,endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc=feval(f,c)2迭代法迭代法是计算数学中的一种重要方法，用途很广，求解线性方程组和矩阵特征值时也要用到它。这里结合非线性方程的迭代法求解，介绍一下它的基本原理。迭代法基本原理迭代法的基本原理就是构造一个迭代公式，反复用它得出一个逐次逼近方程根的数列，数列中每个元素都是方程根的近似值，只是精度不同。迭代法求解方程f(x)=0（1）时，先把方程等价地变换成形式f(x)=x－g(x)=0，（2）移项得出：x=g(x)(3)若函数g(x）连续，则称（3）为迭代函数。用它构造出迭代公式：xk+1=g(xk）,k=0,l,2，…(4)从初始值x0出发，便可得出迭代序列：{xk｝=x0,x1,x2,….xk,…..（5）如果迭代序列（5）收敛，且收敛于x*，则由式（4）有：0***lim1xfxxgxxgkk可见x*便是方程（l）的根。迭代法几何意义：如下图所示，解方程f(x)=0可以等价地变换成求解x=g(x)，图4-2方程求根迭代法原理示意图在几何上，就等价求曲线y＝x和y＝g(x）交点P*的坐标x*。求迭代序列（5)，就等于从图中x0点出发，由函数y＝g(x0）得出y＝P0，代入函数y＝x中得出Q1，再把Q1的x坐标x1代入方程y=g(x）得出P1，如此继续下去，便可在曲线y＝g(x)上得到一系列的点P0，P1，…，Pk，…，这些点的x坐标便是迭代数列xl,x2，…，xk，…，它趋向于方程（l)的根x*，数列的元素就是方程根的近似值。数列的收敛就等价于曲线y＝x和y＝g(x）能够相交于一点。迭代公式收敛定理要想用迭代法求出方程根的近似值，迭代序列（4-5）必须收敛。下面的定理给出了迭代法的收敛条件，同时也给出了迭代公式的误差。收敛定理：方程x=g(x）在（a,b）内有根x*，如果：①当x[a,b]时，g(x）[a,b];②g(x）可导，且存在正数q1，使得对于任意x[a,b]都有|g’(x)|q1，则有以下结论。①方程x=g(x）在（a,b）内有唯一的根x*。②迭代公式xk+1=g(xk）对（a,b）内任意初始近似根x0均收敛于x*。③近似根xk的误差估计公式为：011*xxqqxxkn(4-6)3切线法切线法就是从函数曲线上的一点出发，不断用曲线的切线代替曲线，求得收敛于根的数列。切线法原理：解非线性方程f(x)=0的切线法也称牛顿法，它是把方程线性化的一种近似方法，用函数f(x）的切线代替曲线产生一个收敛于方程根的迭代序列，从而得到方程的近似根。把函数f(x）在某一初始值x。点附近展开成泰勒级数：!2020000xfxxxfxxxfxf(4-7)取其线性部分，近似地代替函数f(x）可得方程的近似式：0000xfxxxfxf设00xf，解该近似方程可得：0001xfxfxx把函数f(x）在xl点附近展开成泰勒级数，取其线性部分替