2010年数学建模D题的答案[1]

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：D我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：西安欧亚学院参赛队员(打印并签名)：1.马璐2.胡勇3.隋艳龙指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组日期：2011年8月16日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）1对学生宿舍设计方案的评价摘要本文从经济性、舒适性、安全性三个方面对四种学生宿舍的设计方案做出综合评价和比较。搜集相关资料，并对附图进行量化处理，利用MATLAB软件进行求解。本题给出四个附图，可以根据附图和数据先进行计算和比较做出各因素的评价，求出各因素的最优方案，然后利用层次分析法确定综合目标的权重，具体结果为：（1）经济性方面：查询往年的土地单价、增长率、和运行成本建立经济性因素的层次分析模型，根据收支平衡可求出年与利润的关系，利用matlab软件求解可得,最先收回成本的是方案1,其次是方案4、方案2、方案3。（2）舒适性方面：根据附图和数据，影响四个方案舒适性的因素分别为：人均占总面积的大小、人均占公共设施面积的大小、寝室人数与寝室面积之比、采光比的大小，通过数据的统计和处理可以得到四种方案的人均占有面积为：（4.8，12，9.8，14.3）、四种方案的人均占公共设施面积为：（1.11，2.23，1.9，3.3）、四种方案的寝室人数与寝室面积之比为：（3.19，6.25，4.48，8.75）、四种方案采光比的大小为：（0.07760.07040.13180），数据值越大则为越佳，人均面积、使用方便、互不干扰均为方案4最佳，采光通风方面方案3最佳，根据数据与优先选择程度越大的准则得出：方案4是舒适度最高的，其次是，方案2、方案3、方案1。（3）安全性方面：根据附图和数据，影响四个方案安全性的因素分别为：人员疏散时平均疏散宽度的大小、寝室人数、窗户与窗户之间的距离，通过数据的统计和处理可以得出四种方案的平均疏散宽度为：（1.3753.4862.8194.121），根据数据与优先选择程度越大的准则得出：方案4是安全性最高的，其次是方案2、方案3、方案1。（4）综合分析方面：建立层次分析模型通过matlab软件计算可以得到组合权向量：（0.13590.27010.14310.4508）根据指标越小，优先选择程度越大的准则得出，方案4综合指标最高，其次是方案2、方案3、方案1关键词：层次分析法matlab采光比方案评价21.问题重述学生宿舍是学校教育的重要组成部分，直接或间接地影响到学生的生活、学习和健康成长。学生宿舍的使用面积、布局和设施配置等的设计既要让学生生活舒适，也要方便管理,同时要考虑成本和收费的平衡,这些还与所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平有关。可知本文是对学生宿舍评价问题，主要任务是根据给出的四种学生宿舍设计方案进行评价，并且学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等问题。经济性：建设成本、运行成本和收费标准等。舒适性：人均面积、使用方便、互不干扰、采光和通风等。安全性：人员疏散和防盗等。附件是四种比较典型的学生宿舍的设计方案。请你们用数学建模的方法就它们的经济性、舒适性和安全性做出综合量化评价和比较。2.问题分析由于学生宿舍的设计必须考虑经济性、舒适性和安全性等因素。将整个问题分为四个部分进行分析，（1）.确定评价目标，（2）.对附图量化处理，（3）.根据数据对分量做出评价，（4）.运用层次分析法确定权重，对设计方案做出综合性评价。基本流程图如下：经济性方面，考虑到土地成本、建房成本、运行成本和收费标准对经济性的影响。从网上搜集相关的建筑学的有关知识，计算出平均每平方米的土地和建设单价，在计算出水电，管理等费用，进行量化处理，利用matlab软件求出年与利润的关系，根据得到的关系进行综合评价，先盈利者为最佳方案。舒适性方面，考虑到人均占有面积、使用方便、互不干扰、采光通风等因素对舒适性的影响，人均占有面积越大则越方便，寝室人数与寝室面积比越大则互不干扰性越好，窗户的面积越大则采光通风越好，根据附图对以上因素进行量化处理，并列出表格进行比较，选出最优方案。安全性方面，考虑到人员疏散、防盗对安全性的影响，影响人员疏散的因素为人员疏散宽度，从网上搜集相关资料可知各楼层的疏散系数，通过疏散系数得出人员疏散宽度，疏散宽度越大则人员疏散越快，影响防盗的因素为寝室人员个数和窗户与窗户之间的距离，寝室人数越少，窗户与窗户之间的距离越远则防盗性就越好。最后根据经济性、舒适性和安全性三个影响宿舍评价方案的因素进行综合考虑建立确定评价目标影响因素量化处理建立层次分析模型各因素评价综合评价求出权向量3层次分析法模型，求出权重并最终做出综合量化评价和比较，选出最优方案。3.模型假设1.假设所在城市的地域、区位、文化习俗和经济发展水平对四种方案不影响。2.假设楼房各层结构相同，高度相同。3.假设单位面积的土地成本相同。4.假设互不干扰只考虑一间寝室，与其它无关。5.假设每栋楼的窗户大小相同。6.假设采光比与窗户的位置无关。7.假设考虑单一因素时其他因素不影响。4.符号说明A学生宿舍设计方案评价1B经济性2B舒适性3B安全性1C建设成本2C运行成本3C收费标准4C人均居住面积5C使用方便6C互不干扰7C采光通风8C人员疏散9C防盗1D方案12D方案23D方案34D方案4正互反矩阵的特征值CI一致性指标CR一致性比率RI随机一致性指标0W经济、舒适、安全的权向量W综合权向量5.模型的建立与求解5.1针对综合指标建立层次分析法模型[1]5.1.1模型结构如下图所示：45.1.2模型求解根据网上对经济性、舒适性、安全性进行调查得到下图30%经济性、舒适性、安全性在宿舍设计方案中的比重14%56%安全性经济性舒适性根据图知安全性占得比重最大，其次是舒适性、经济性。综合考虑对经济性、舒适性、安全性三个方面，我们得到了如下的成对比较矩阵为：第二层对第一层的成对比较矩阵为：11/21/4211/3431A目标层准则层方案层学生宿舍设计方案A经济性1B舒适性2B安全性3B方案1方案2方案3方案45根据以下对子因素的评价列出第三层对第二层的成对比较矩阵为：115731/5141/31/71/411/61/3561B211/41/31/54141/231/411/45241B311/41/31/5412331/211/35231B随机一致性指标：n1234567891011RI000.580.91.121.241.321.411.451.491.51一致性指标：1nCIn一致性比率：/CRCIRI通过MATLAB编程计算可得两两判断矩阵在单一准则下的权向量W、最大特征根,一致性指标CI与一致性比率CR，具体结果见下表A1B2B3B0W0.13650.23850.62500.54060.10820.04700.30420.06920.32510.12800.47680.07290.28440.16950.47293.01834.29994.17014.0511CI0.00920.09930.05670.0170CR0.01580.03310.06300.0189由于上述一致性比率CR均小于0.1，可以判断矩阵具有满意的一致性。最后得出：综合组合一致性检验：0.1365=0.09930.05670.01700.2385=0.03770.6250总CI6各层的一致性检验及综合组合一致性检验全部通过。综合组合权向量：0.54060.06920.07290.13590.13650.10820.32510.28440.2701=0.2385=0.04700.12800.16950.14310.62500.30420.47680.47290.4508W总最终综合组合权向量为：(0.1359,0.2701,0.1431,0.4508)TW，所以从经济性、舒适性、安全性综合考虑：方案4综合指标最高,其次是方案2、方案3、方案15.2针对经济性指标建立层次分析法模型5.2.1建立层次分析法模型结构如下图所示：1.对土地做网上调查[3]2010年全国分区域不同用途地价增长率及地价水平值各区域地价水平值（元/平方米）地价增长率%综合地价商业居住工业综合地价商业居住工业全国39436536576677210.6011.9712.697.36华北区33613463538086312.889.3317.1510.58东北区2113417623375216.656.368.972.93华东区7156158761023810018.379.148.937.36中南区37428785587078511.8420.5011.709.25西南区36017645454856012.9010.0918.931.29西北区1612271719635618.5510.7910.394.54平均值36467028515772310.2611.1712.686.19目标层准则层方案层经济性1B建设陈本1C运行成本2C收费标准3C方案1方案2方案3方案47从不同区域的地价增长率变化情况来看，2010年六大区域综合地价增长率由高到低分别为，西南区、华北区、中南区、西北区、华东区、东北区，增长率分别为12.90%、12.88%、11.84%、8.55%、8.37%、6.65%（图1），综合地价增长率分别为0.54%、3.91%和2.47%。图1.2010年全国分区域不同用途地价环比增长率比较所以根据综合地价可以算出平均地价为3646（元/平方米），每平方米建筑房价为1100元，地价增长率为10.2%2.运行成本（电，水，维修，管理等费用）水电费用：[4]根据网上调查，一年一人平均用水为54元。平均用电费用为102元。维修费用：根据调查每人每平方米年维修费为大约30元管理费用：每人每月10元3.收费标准：根据调查：宿舍人数2468价格1500120010008005.2.2模型求解：ii321t.Yi1,2,3,4n? YnCtnCtC设，为年（）为宿舍一到宿舍四的利润，为人数则8数据分析得到表3：方案1方案2方案3方案4建设成本1C4123545元12502000元10476300元8864200元运行成本2C420元636元570元705元收费标准3C800元1200元1000元1500元根据matlab绘制利润回收与年限的关系件图4：年与利润的关系102030405060708090100-12-10-8-6-4-202x106利润回收与年限年限利润回收y1y2y3y4图4规定，越早收回成本则优越性越好，由图可以看出，方案1最先收回成本，所以从经济性上考虑方案1是最优的，其次是方案4、方案2、方案3。5.3.针对舒适性指标建立层次分析法模型5.3.1建立层次分析法模型结构如下图所示：目标层准则层方案层舒适性2B人均面积4C使用方便5C互不