线性变换的矩阵表示

,21niiiiaaa其中),,,,(21212222111211nnnnnnnaaaaaaaaaA设§6.5线性变换的矩阵表示一、线性变换的矩阵表示式定义Rn上的线性变换:T(x)=Ax,xRn.对单位坐标向量组:e1,e2,···,en,有,00112122221112111nnnnnnaaaaaaaaaAe,100212222111211nnnnnnnnaaaaaaaaaAe··················i=Aei=T(ei)(i=1,2,···,n),即因此,如果一个线性变换T有关系式T(x)=Ax,那么,矩阵A应以T(ei)为列向量.反之,如果一个线性变换T使T(ei)=i(i=1,2,···,n),那么,对任意的x=(x1,x2,···,xn)TRn,=T[(e1,e2,···,en)x]=T(x1e1+x2e2+···+xnen)=x1T(e1)+x2T(e2)+···+xnT(en)=(T(e1),T(e2),···,T(en))x=(1,2,···,n)xT(x)=Ax.综上所述,可知表示,其中A=(T(e1),T(e2),···,T(en))Rn中任何线性变换T,都可用关系式T(x)=Ax(xRn),212222111211nnnnnnaaaaaaaaae1,e2,···,en为单位坐标向量组.二、线性变换在给定基下的矩阵nnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT22112222112212211111)()()(定义:设T是线性空间Vn中的线性变换,在Vn中取定一个基1,2,···,n,如果这个基在变换T下的象为其中T(1,2,···,n)=(T(1),T(2),···,T(n)),则上式可表示为记T(1,2,···,n)=(1,2,···,n)A,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA则称矩阵A为线性变换T在基1,2,···,n下的矩阵.显然,矩阵A由基1,2,···,n的象T(1),T(2),···,T(n)唯一确定.现在,假设A是线性变换T在基1,2,···,n下的矩阵,也就是说,基1,2,···,n在变换T下的象为:T(1,2,···,n)=(1,2,···,n)A那么,变换T满足的关系式:,1niiix)()(1niiixTTniiiTx1)(对任意的Vn,设则有nnxxxTTT2121))(,),(),((,),,,(2121nnxxxA,),,,(]),,,[(21212121nnnnxxxAxxxT即上式唯一地确定了一个变换T,并且,所确定的变换T是以A为矩阵的线性变换.反之,以A为矩阵的线性变换T由上式唯一确定.结论:在Vn中取定一个基后,由线性变换T可唯一地确定一个矩阵A;反之,由一个矩阵A也可唯一地确定一个线性变换T.在给定一个基的条件下,线性变换与矩阵是一一对应的.;21nxxx从关系式,),,,(]),,,[(21212121nnnnxxxAxxxT可知:在基1,2,···,n下,的坐标为.21xxxnAT()的坐标为因此,按坐标表示有:T()=A.例1:在P[x]3中,取基:求微分变换(运算)D的矩阵.p1=x3,p2=x2,p3=x,p1=1,解:,00000100010200200303432144321343212432121ppppDpppppDpppppxDpppppxDp.0100002000030000A所以,D在这组基下的矩阵为:例2:实数域R上所有一元多项式的集合记作R[x],R[x]中次数小于n的所有一元多项式(包括零多项式)组成的集合记作R[x]n,它对于多项式的加法和数与多项式的乘法构成R上的一个线性空间.][)(),())((xRnxfxfdxdxf在线性空间R[x]n中,定义变换:则由导数性质可以证明:是R[x]n上的一个线性变换,这个变换也称为微分变换.现取R[x]n的基为1,x,x2,···,xn-1,则有(1)=0,(x)=1,(x2)=2x,···,(xn-1)=(n-1)xn-2,因此,在基1,x,x2,···,xn-1下的矩阵为:.0000100002000010nA,)(jyixkzjyixT例3:在R3中,T表示将向量投影到xoy平面的线性变换,即(1)取基为求T的矩阵.,,,kji,,,kjiji(2)取基为求T的矩阵.其中.100,010,001kji,0kTjjTiiT解(1):.000010001),,(),,(kjikjiT即,jiTjTiT.000110101),,(),,(T此例表明:同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵.(2):即三、线性变换在不同基下的矩阵上面的例子表明:同一个线性变换在不同的基下的矩阵不同.那么,这些矩阵之间有什么关系呢?定理1:设线性空间Vn中取定两个基:由基1,2,···,n到基1,2,···,n的过渡矩阵为P,Vn中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B,那末B=P-1AP.1,2,···,n;1,2,···,n,证明:由条件知,(1,2,···,n)=(1,2,···,n)P;T(1,2,···,n)=(1,2,···,n)A;T(1,2,···,n)=(1,2,···,n)B.于是(1,2,···,n)B=T(1,2,···,n)=T[(1,2,···,n)P]=T[(1,2,···,n)]P=(1,2,···,n)AP=(1,2,···,n)P-1AP(※)证毕.由于1,2,···,n线性无关,所以B=P-1AP.(※)的证明:设,212222111211nnnnnnpppppppppP则T[(1,2,···,n)P]=(T(1),T(2),···,T(n))P=T[(p111+p212+···+pn1n),(p121+p222+···+pn2n),···,(p1n1+p2n2+···+pnnn)]=((p11T(1)+p21T(2)+···+pn1T(n)),(p12T(1)+p22T(2)+···+pn2T(n)),···,(p1nT(1)+p2nT(2)+···+pnnT(n)))=T[(1,2,···,n)]P=(T(p111+p212+···+pn1n),T(p121+p222+···+pn2n),···,T(p1n1+p2n2+···+pnnn))定理表明:A与B相似,且两个基之间的过渡矩阵P就是A与B相似变换矩阵.,22211211aaaaA,0110),(),(2112解:显然,0110P,01101P例4:设V2中的线性变换T在基础1,2下的矩阵为求T在基2,1下的矩阵.即,两组基的过渡矩阵为:易求得0110011022211211aaaaB于是,T在基2,1下的矩阵为.11122122aaaa定义:线性变换T的象空间T(Vn)的维数,称为线性变换T的秩.若A是线性变换T的矩阵,则T的秩就是R(A).若线性变换T的秩为r,则T的核ST的维数为n–r.987654321A例5:已知3维线性空间V3的线性变换在基1,2,3下的矩阵为求在基2,3,1下的矩阵.解:由条件知,987654321),,(),,(321321.132798465B,963)(852)(74)(321332123211即,74)(396)(285)(132113231322从而有因此,在基2,3,1下的矩阵为四、小结给定了线性空间Rn的一组基以后,Rn中的线性变换与Rnn中的矩阵形成一一对应.因此,在线性代数中,可以用矩阵来研究线性变换,也可以用线性变换来研究矩阵.同一变换在不同基下的矩阵是相似的.思考题,1111,0201NM已知R22的两个线性变换:对任意的XR22,T(X)=XN,S(X)=MX,试求T+S在基E11,E12,E21,E22下的矩阵.注:(T+S)()=T()+S().思考题解答000102011111000102122001(T+S)(E11)=T(E11)+S(E11)=E11N+ME1102010011=2E11+E12–2E21同理可得(T+S)(E12)=T(E12)+S(E12)=E12N+ME12=E11–2E221100(T+S)(E21)=T(E21)+S(E21)=E21N+ME21=E21+E221100.1120110200010012(T+S)(E22)=T(E22)+S(E22)=E22N+ME22=E21–E22即22211122211122111221121111))(())((2))((22))((EEESTEEESTEEESTEEEEST所以T+S在基E11,E12,E21,E22下的矩阵为: