多元函数积分学100题

多元函数积分学100题（附答案）一．计算下列二重积分1.(1)Dxyd，其中:0,0,1Dxyxy；2.22Dydxy，其中2:,13Dyxyy；3.xyDxed，其中1:2,12Dyxx；4.xyDed，其中:1Dxy；5.Dxyd，其中D是由1yx及226yx所围成的闭区域；6.(2)Dxyd，其中D是由22yx及21yx所围成的闭区域；7.2sinDyd，其中D是由0,1xy及yx所围成的闭区域；8．3(3)Dxyd，其中D是由22,4yxyx及1y所围成的闭区域；9.Dxyd，其中2:Dxyx；10.1Dxdy，其中D是由21,2yxyx及0x所围成的闭区域；11.2Dyxd，其中:01,01Dxy；12.Dxyd，其中222:Dxya；13.22xyDed，其中22:4Dxy；14.22ln(1)Dxyd，其中22:1,0,0Dxyxy；15.arctanDydx，其中D是由22224,1,xyxy及0,yyx围成的第一象限内的闭区域；16.222DRxyd，其中22:DxyRx；17.2214Dxyd，其中22:1Dxy；18.Dxd，其中22:Dxyx；19.222211Dxydxy，其中22:1,0,0Dxyxy；20.22Dxyd，其中D是由两条双曲线1,2,xyxy及,4yxyx围成的第一象限内的闭区域；21.2222()Dxydab，其中2222:1xyDab；22.2220yxdxedy；23.660cosyxdydxx；24.设D是以点(0,0),(1,2),(2,1)OAB为顶点的三角形区域，求Dxdxdy；25.设212,0(,)0xyxyxfxy，其他.，求(,)Dfxydxdy，其中22:2Dxyx；26.222224Dxydaxy，其中D是由22(0)yaaxa及yx所围成的闭区域；27.221()2[1]xyDyxedxdy，其中D是直线,1yxy及1x围成的闭区域；28.22()22sin()xyDexydxdy，其中22:Dxy；29.22()Dxyyd，其中D是由圆224xy及22(1)1xy所围成的平面区域；30.Dydxdy，其中D是由曲线22xyy及2,0,2xyy所围成的平面区域；二．计算下列三重积分31.2(1)dxyz，其中是由1xyz和三个坐标平面所围成的空间闭区域；32.xyzd，其中是由1,,,0xyxzyz所围成的空间闭区域；33.23xyzd，其中是由,1,,0zxyyyxz所围成的空间闭区域；34.||zed，其中：2221xyz；35.222222ln(1)1zxyzdxyz，其中：2221xyz；36.()xzd，其中是由2222,1zxyzxy所围成的立体区域；37.22xyed，其中：221,01xyz；38.zd，其中是由2222,2zxyzxy所围成的立体区域；39.222222sinxyzdxyz，其中是由2221xyz所围成的第一象限内的闭区域；40.22()xyd，其中：22212,0,0xyzxy；41.22zxyd，其中是由22,0,3,0yxxzzy所围成的空间闭区域；42.zd，其中：2222222(),xyzaaxyz；43.222xyzd，其中是由球面222xyzz所围成的空间闭区域；44.22()xyd，其中是由曲面22225()4xyz及平面5z所围成的空间闭区域；45.22()xyd，其中：2220,0axyzbz；三．重积分的应用46.求球面2222xyz与抛物面22zxy所围立体的体积；47.求球面2222xyza被柱面22xyax所截那部分面积；48.平面薄片所占的区域D由抛物线2yx及直线yx围成，面密度2(,)xyxy，求质心坐标；49.设球体：2222xyzRz各点处的密度等于该点到原点的距离的平方，求该球体的质心；50.设均匀平面薄片所占区域D由抛物线29,22yxx围成，求转动惯量,xyII.四、计算下列曲线积分51.Lxyds，其中L是22yx从原点到点(2,2)A的一段弧；52.Lyds，其中L是yx上从1x到1x的一段弧；53.Lxds，其中L是直线yx及抛物线2yx所围成的区域的整个边界；54.22()Lxyds，其中L是摆线(cossin),(sincos),02xatttyatttt；55.2Lyds，其中L为摆线的一拱：(sin),(1cos),02xattyatt；56.2221dsxyz，其中是曲线cos,sin,tttxetyetze上从0t到2t的一段弧；57.2xyzds，其中是折线ABCD,其中(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)ABCD；58.22()Lxydx,其中L是抛物线2yx上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；59.Lxydx，其中L是圆周222()(0)xayaa及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；60.Lydxxdy，其中L为圆周cos,sinxRtyRt上对应于0t到2t的一段弧；61.22()()Lxydxxydyxy，其中L为圆周222(0)xyaa（按逆时针方向绕行）；62.2xdxzdyydz，是曲线,cos,sinxkyaza上对应于0到的一段弧；63.(1)xdxydyxydz，其中是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；64.dxdyydz，其中是有向闭折线段ABCA，其中(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ABC；65.()()Lxydxyxdy，其中L是曲线2221,1xttyt上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；66.(24)(536)Lxydxyxdy，其中L为三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界；67.222(cos2sin)(sin2)xxLxyxxyxyedxxxyedy，L为正向星形线222333(0)xyaa；68.22()(sin)Lxydxxydy，其中L为圆周22yxx上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；69.222()Lydxxdyxy，其中L是圆周22(1)2xy，方向为逆时针方向；70.证明(2,1)423(1,0)(23)(4)xyydxxxydy与路径无关，并计算其值；71.验证22(2coscos)(2sinsin)xyyxdxyxxydy是某个函数(,)uxy的全微分，并求(,)uxy；72.解全微分方程(2)0yyedxxeydy；73.设曲线积分2()Lxydxyxdy与路径无关，其中()x具有连续导数，且(0)0，试计算(1,1)2(0,0)()xydxyxdy的值；74.设是曲线23,,xtytzt上从0t到1t的一段弧，把对坐标的第二型曲线积分PdxQdyRdz化为对弧长的第一型曲线积分；75.把对坐标的第二型曲线积分LPdxQdy化为对弧长的第一型曲线积分，其中L为圆周22yxx上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；五、计算下列曲面积分76.4(2)3zxydS，其中为平面1234xyz在第一卦限中的部分；77.2(22)zxyxxdS，其中为平面226xyz在第一卦限中的部分；78.()xyzdS，其中为球面2222xyza上(0)zhha的部分；79.()xyyzzxdS，其中为锥面22zxy被柱面222xyax所截得的部分；80.22()xydS，其中为锥面22zxy及平面1z所围成的区域的整个边界曲面；81.()xydydz，是以原点为中心，边长为2a的正方体,,xayaza的整个表面的外侧；82.2zdxdy，其中是上半球面222zaxy在圆柱面22(0)xyaxa之外部分的外侧；83.2()zxdydzxdxdy，是旋转抛物面221()2zxy介于平面0z及2z之间部分的下侧；84.[(,,)][2(,,)][(,,)]fxyzxdydzfxyzydzdxfxyzzdxdy，其中是平面1xyz在第四卦限部分的上侧；85.22()xydzdxzdxdy，其中为锥面22zxy被平面1z所截下在第一卦限部分的下侧；86.化第二型曲面积分(,,)(,,)(,,)PxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy为第一型曲面积分，其中是平面平面32236xyz在第一卦限部分的上侧；六、高斯公式和斯托克斯公式87.222xdydzydzdxzdxdy，其中为平面0,,0,,0,xxayyazza所围立体表面的外侧；88.333xdydzydzdxzdxdy，其中为球面2222xyza的外侧；89.2232()(2)xzdydzxyzdzdxxyyzdxdy，其中为上半球体2220zaxy的表面的外侧；90.xdydzydzdxzdxdy，是介于平面0,3zz之间的圆柱体229xy的表面的外侧；91.24xzdydzydzdxyzdxdy，其中为平面0,1,0,1,0,1xxyyzz所围立体表面的外侧；92.求向量场2(23)()(2)xzxzyyzAijk穿过球面：222(3)(1)(2)9xyz流向外侧的通量；93.323232()()()xazdydzyaxdzdxzaydxdy，其中为上半球面222zaxy的上侧；94.ydxzdyxdz，其中为圆周2222,xyza0xyz，若从x轴的正向看去，取逆时针方向；95.()()()yzdxzxdyxydz，其中为椭圆222xya，1(0,0)xzabab，若从x轴的正向看去，取逆时针方向；96.ABCAzdxxdyydz，其中ABCA是以(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)ABC为顶点的三角形边界曲线，它的正向与这个三角形所在平面上侧的法向量之间符合右手法则；97.223ydxxdyzdz，其中为圆周2229xyz，0z，若从z轴的正向看去，取逆时针98.()()()zydxxzdyxydz，其中是曲线221,xy2xyz，若从z轴的正向看去，取顺时针方向；99.求向量场32()()3xzxyzxyAijk沿闭曲线（从z轴的正向看取逆时针方向）的环流量，其中为圆周222,0zxyz；100.求向量场(2