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-0-长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练三对角矩阵的简单计算系(部):信息与计算科学专业:数学与应用数学学号:2009031105学生姓名:尹锋霖成绩:2012年6月-1-三对角矩阵的简单计算尹锋霖长沙学院信息与计算科学系,湖南长沙,410022摘要:三对角行列式是一类特殊而常见的行列式,其计算灵活多样,本文给出三对角行列式的两种特殊的计算方法和证明.关键词:三对角行列式,递推法,差分法1引言1.简本文主要介绍三对角行列式两种简单计算方法,然后给与证明,对以后行列式的计算有很大的帮助.2.文献[1],主要研究了三对角行列式的递推法、差分法、数学归纳法和拆行(列)法这四种计算方法.文献[2],主要研究了三对角行列式及其运用,主要讨论了利用递归方程得到了计算了计算三对角行列式的一般方法,然后研究三对角行列式在线性代数及组合数学中的应用.文献[3],主要是在给出了三对角行列式的几种算法,利用三对角行列式证明了两类Chebyshev多项式的几种显式.3,本篇文章主要总结了三对角行列式的两种简单计算与证明.定义1形如11122233311100000000000000nnnnnbacbacbaDcbacb的n阶行列式叫做三对角行列式.2两种方法对三对角行列式的求解2.1递推法递推法可分为直接递推和间接递推.用直接递推法计算行列式nD,依次从123nDDDD逐级递推便可以求出nD的值;间接递推的做法是,借助于行-2-列式中元素的对称性,交换行列式构造出关于nD和1nD的方程组,从而消去1nD就可解得nD.例1计算n阶行列式00000000000000nabcabcabDcabca.因此有1122212244,4;241,4;2nnnnnaabcaabcabcabcDanabc.证明设detnnDT按第一行展开得12nnnDaDbcD.(1)取p,q为方程20xaxbc的根,即242aabcp,242aabcq,则式(1)可改为112()nnnnDpDqDpD.注意到221DpDq,可递推求得1nnnDpDq,从而-3-112112,4;(1),4;nnnnnnnnpqabcDppqpqqpqnpabc,从而得到1122212244,4;241,4;2nnnnnaabcaabcabcabcDanabc.证毕.例3计算下面行列式410441044A.24414,34(31)322A.2.2差分法首先由行列式nD得到一个一般的递推公式12nnnDpDqD.然后把该关系看作一个差分方程,求出特征方程20pq的两个根12,,则112212()nnnDCC,或1212()nnDnC.最后从由12,DD得到的一个方程组中解出常数12,CC,从而求出行列式nD的值.例3计算n阶行列式-4-00000000000000nabababababaDbababab.解按第一列展开得1100000000()000000nnnabababababaDabDbbababab12()3nnabDabDn.即有递推关系12()(3)nnnDabDabDn.令,pabqab.由特征方程20pq得到两个特征根12,ab.若ab,则112212nnnnnDCCCaCb,由2212,DabDaabb,有12222212abCaCbaabbCaCb.1112,;nnnababCCDababab.若ab,则特征方程有相等实根12a,这时112212nnnnnDCnCCanCb,代入12,DD解方程组可得121(1)nnCCDna.因此有-5-11,(1),nnnnababDabnaab.参考文献[1]卢潮辉.三对角行列式的计算[J].漯阳职业技术学院学报,2010,9(2):1-4.[2]杨胜良.三对角行列式及其应用[J].工科数学,2002,18(2).[3]杨胜良.三对角行列式与Chebyshev多项式[J].大学数学报,2006,22(6)1-6:.[4]徐仲,张凯院,陆全.矩阵类的快速算法[M].西北:西北工业出版社,1999:[5]王萼芳,石生明.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003:
本文标题:论文-三对角矩阵的简单计算
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