数据包络分析及其应用

11相对效率评价的技术－数据包络分析及其应用（DEA）DataEnvelopmentAnalysis21978年A.Charens,W.W.Cooper和E.Rhodes等人首先给出的．1978年：对当第一个DEA模型C2R,认为是一种关于效率评价的新方法．2004年(二十六年之后):DEA已经形成了一个数学、经济学、管理科学交叉研究的新领域3DataEnvelopmentAnalysisJournal国际杂志专为DEA而设，可见DEA在运筹管理科学中的重要性41.1决策单元DecisionMakingUnits,简称DMU基本特点：具有相同的目标和任务具有相同的外部环境具有相同的输入和输出指标取决于研究目的的不同指标的可获得性数据的性质SystemInputsOutputs51.2生产可能集输入向量x＝（x1,…,xm）T输出向量y＝（y1,…,ys）T(x,y)描述DMU的整个生产活动T＝｛（x,y）|产出y能用输入x生产出来｝,T为生产可能集6设有n个DMU，其中DMUj表示为：输入向量xj＝（x1j,…,xmj）T输出向量yj＝（y1j,…,ysj）TDMUj,j=1,…,n是实际观测到生产活动任意（xj,yj）∈T，j=1,…,nT^={（xj,yj）,j=1,…,n}称为参考集7生产可能集T的四个公理体系：（1）凸性(x,y)∈T,且（x’,y’）∈T,设u∈[0,1],则：u(x,y)+(1-u)（x’,y’）∈T凸性表明T是一个凸集（2）锥性(x,y)∈T,k≥0,则k(x,y)=(kx,ky)∈T8(3)无效性(x,y)∈T，若x’≧x,则(x’,y)∈T若y’≦y,则(x,y’)∈T(4)最小性生产可能集是满足上述（1）－（3）条件的集合9111,,,0,1,0nnnjjjjjjjjjTxykxxkyyk,1,,jjkjn令11,,,0(a)nnjjjjjjjTxyxxyy10DMUi123xi134yi23111(1,2)(3,3)(4,1)xyop12把锥性去掉：111,,,0,1(b)nnnjjjjjjjjjTxyxxyy(1,2)(3,3)(4,1)xyoABCD13111,,,0,1(C)nnnjjjjjjjjjTxyxxyy(1,2)(3,3)(4,1)xy0ABC141.3生产函数与规模收益,,,,xyTxyTyy令若不存在，且,xy称是有效生产活动所有有效生产活动构成Rm+s空间的超曲面()yfx为生产函数（增函数）15规模状况12345678910123456ABDEGCFyxPOJKLMNTSHZ161.4输入\输出可处置性输入的增加反而导致输出的减少部分输入是可自由处置的输入要求同比例增加（输入可弱处置）与输入的拥塞效应的区别（Congestion）172.1AnexampleWehavefourmechanicsworkinginagaragerepairingflattiresOutputInput1Input2tirestime(hours)otherresources($)1001501002301003251004518(4,5)(1,50)(2,30)010203040506000.511.522.533.544.5timeotherresources(3,25)BAOAOB可否代表DMU3的效率？CD191234123412341234minimizesubjectto12343503025525100100100100100,,,02.2线性规划模型的引入Theinput-orientedmodel201234123412341234maximizesubjectto12343503025525100100100100100,,,0Theoutput-orientedmodel2112345678910123456ABDEGCFOutputInputHLIMIHID2212345678910123456ABDEGCFOutputInputHLIM1IHONNHMDIDOMMLML0N233CCR模型11,,0,1,,,,0,1,,jjmjjjsjxxxjnyyyjn11,,,,msvvvuuuDMUj如下：设输入输出权重为：11,1,,skkjjkjmjiijiuyuyhjnvxvx效率评价指数24001111max..1,1,,0,1,,.0,1,,.skkjkmiijiskkjkmiijikiuyvxstuyjnvxuksvim对x0建立模型25.0,0,0,0,,,2,1,1max000vuvunjxvyuhxvyujTjTTT分式规划(其中x0=xj0,y0=yj0,1≤j0≤n．26用1962年Charnes和Cooper对于分式规划的Charnes－Cooper变换（称为C2－变换）:,,,010utvtxvtT.0,0,1,,,2,1,0max)(0002xnjyxhyPTjTjTTRC2700p1111maxV..0,1,,.10,1,,.0,1,,.skkjksmkkjiijkimiijikiystyxjnxksim（P）280101min..00,1,,.njjjnjjjjstxxyyjnR线性规划的对偶模型为0101min..0,1,,.njjjnjjjjstxxyyjnR（D）基于输入的模型290101max..0,1,,.njjjnjjjjstxxyyjnR基于输出的模型30DEA有效性的定义（1）：（P）*0*0**(1)1,(2)1,0,0,TTVpyDEAVpyDEA弱有效且有效.0,0,1,,,2,1,0max)(0002xnjyxhyPTjTjTTRC310101-+min..0,1,,.s0,s0.njjjnjjjjstxsxysyjnR＋（D）*1,DEA弱有效DEA有效性的等价定义（2）：***1,sDEA+且=s=0,有效对每个最优解都有：****,,,ss若最优解32**s+0,s=0几种情形的讨论：*1,可将部分输入减少，且保持产出不变**s+＝0,s0保持输入不变，可将部分产出量提高**s+＝0,s＝0要保持产出不变，所有输入都不能减少DEA有效比弱有效更“强”如果问题（D）有多解，如何判断所有的解都满足**s+＝0,s＝0333.1具有非阿基米德无穷小的CCR模型0101-+ˆmin..0,1,,.s0,s0.TTDnjjjnjjjjVesesstxsxysyjnR＋ˆ(1,,1),(1,,1)TTmTseReR*1,DEA弱有效***1,sDEA+且=s=0,有效****,,,ss若最优解61034实际做法：（1）先解模型（D）（2）解下面模型*0101-+max..0,1,,.s0,s0.njjjnjjjjssstxsxysyjn＋*D是（）的最优解353.2非有效DMU在相对有效面上的投影0101-+min..0,1,,.s0,s0.njjjnjjjjstxsxysyjnR＋****,,,ss若最优解****001***001ˆˆnjjjnjjjxxsxyysy0000ˆˆ,,xyxy是在前沿面上的投影00ˆˆ,xy相对于原来的所有DMU是DEA有效的36**0000*000ˆ1ˆxxxxsyyys输入剩余和输出亏空“投影点”和输入剩余、输出亏空在经济管理领域中有重要价值37LPforevaluatingDMU1:minTHETASt5L1+8L2+7L3-5THETA=014L1+15L2+12L3-14THETA=09L1+5L2+4L3=94L1+7L2+9L3=416L1+10L2+13L3=16例：Lindo软件的使用38OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)1.000000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTTHETA1.0000000.000000L11.0000000.000000L20.0000000.446429L30.0000000.044643ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.0000000.0000003)0.0000000.0714294)0.0000000.0000005)0.0000000.0000006)0.000000-0.062500S39LPforevaluatingDMU2:minTHETAst5L1+8L2+7L3-8THETA=014L1+15L2+12L3-15THETA=09L1+5L2+4L3=54L1+7L2+9L3=716L1+10L2+13L3=10end40OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)0.7733333VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTTHETA0.7733330.000000L10.2615380.000000L20.0000000.226667L30.6615380.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.2482050.0000003)0.0000000.0666674)0.000000-0.0800005)0.000000-0.0533336)2.7846150.00000041DMU2:EfficientlevelsofInputs:EfficientlevelsofOutputs:8155710投影点原始值42看XLDEA的示例计算434BCC模型或C2GS2模型文献：Banker,RD,Charnes,A.,Cooper,WW,SomemodelsforestimatingtechnicalscaleinefficienciesinDataEnvelopmentAnalysis,ManagementScience,1984,30(9):1078-1092.A.Charnes,W.W.Cooper,B.Golany,L.SeifordandJ.StutzFoundationsofdataenvelopmentanalysisforPareto-Koopmansefficientempiricalproductionfunctions,JournalofEconometrics,1985,30(1-2):91-10744思想：去除生产可能集的锥性假设，可变规模报酬（VariableReturntoScale,VRS）111,,,0,1(b)nnnjjjjjjjjjTxyxxyy(1,2)(3,3)(4,1)xy045BCC基本模型：01011min..10,1,,.njjjnjjjnjjjstxxy