工程数学-概率论

湘潭大学材料科学与工程学院工程数学xiy湘潭大学材料科学与工程学院课程内容线性代数概率论数学物理方法第二部分概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的一门学科。概率论第一章随机事件及概率1第一节随机事件及其运算2第二节频率与概率3第三节古典概型本章内容4第四节条件概率5第五节全概率公式与贝叶斯公式6第六节事件的独立性7第七节独立试验概型概率论第二章随机变量及其分布随机事件及运算1确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定自然界与社会生活中的两类现象向上抛出的物体会掉落到地上？买了彩票会中奖？一周后的天气情况？确定不确定不确定概率论第一章随机事件及概率：1.可以在相同条件下重复进行2.事先知道可能出现的结果3.进行试验前并不知道哪个试验结果会发生例：抛一枚硬币，观察试验结果；对某路公交车某停靠站登记下车人数；对某批电子产品测试其输入电压；对听课人数进行一次登记；定义对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验，用字母E表示。它具有以下特性概率论第一章随机事件及概率记录一城市一日中发生交通事故次数S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；记录一批产品的寿命x记录某地一昼夜最高温度x，最低温度y定义随机试验E的所有结果构成的集合称为E的样本空间，记为S={e}或Ω={e}，称S中的元素e为基本事件或样本点。例：一枚硬币抛一次S={x|a≤x≤b}S={正面，反面}；S={0,1,2,…}；样本空间与随机事件1.1.2概率论第一章随机事件及概率例：观察6路公交车湘大南门候车人数，一般我们称S的子集A为E的随机事件A，当且仅当A所包含的一个样本点发生称事件A发生。S＝{0,1,2,…}；记A＝{至少有10人候车}＝{10,11,12,…}S，A为随机事件，A可能发生，也可能不发生。如果将S亦视作事件，则每次试验S总是发生，则称S为必然事件。而把不可能发生的结果成为不可能事件。为方便起见，记Ø为不可能事件，Ø不包含任何样本点。定义在随机试验E中，一次试验可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，简称事件，用字母A、B、C等表示。概率论第一章随机事件及概率事件的关系及运算1.1.31.事件的关系(包含与相等)①“事件A发生必有事件B发生”，记为AB②A＝BAB且BA.SAB例：记A={明天天晴}，B={明天无雨}记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}BABABA概率论第一章随机事件及概率121121,,,,ninininiAAAAAAAA：：至少有一发生同时发生2.和事件事件A与事件B至少有一个发生，记作ABSBA3.积事件事件A与事件B同时发生，记作AB＝ABn个事件A1,A2,…,An至少有一个发生，记作iniA1SABn个事件A1,A2,…,An同时发生，记作A1A2…An概率论第一章随机事件及概率4.互不相容或互斥事件当AB=Ø时，称事件A与B不相容的，或互斥的。5.差事件A—B称为A与B的差事件，表示事件A发生而事件B不发生。SBASAB思考：何时A-B=Ø?何时A-B=A？概率论第一章随机事件及概率6.互逆的事件(对立的事件),,AASABSAAABAAAB,,。的逆事件记为互若逆、互斥称ASAABABABABABAB例：设A={甲来听课}，B={乙来听课}，则：{甲、乙至少有一人来}{甲、乙都来}{甲、乙都不来}{甲、乙至少有一人不来}概率论第一章随机事件及概率①交换律：AB＝BA，AB＝BA②结合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC)③分配律：(AB)C＝(AC)(BC)，(AB)C＝(AC)(BC)④对偶(DeMorgan)律：事件的运算关系,,.kkkkkkkkABABABABAAAA推广：概率论第一章随机事件及概率概率论第一章随机事件及概率CCBACBACBACBACBAABCBCACBACABBCACABABC(1)第三次未中奖(2)第三次才中奖(3)恰有一次中奖(4)至少有一次中奖(5)不止一次中奖(6)至多中奖二次例某人连续购买体育彩票，令事件A、B、C分别表示其第一、二、三、次所买的彩票中奖，试用A，B，C及其运算表示下列事件：，ΩAAAn21定义若事件A1，A2，…，An两两互不相容，且完备事件组则称n个事件A1，A2，…，An构成一个完备事件组。例如掷一颗骰子，观察点数，令A表示掷出奇数点，B表示掷出点数不超过3，C表示掷出点数大于2，D表示掷出5点。则5D,6,5,4,3C,3,2,1B,5,3,1A2AB,5BA,6,4CA,642A，，BD,3,1AB,CB,5,3,2,1BA概率论第一章随机事件及概率频率与概率2定义记其中，nA—A发生的次数(频数)；n—总试验次数。称为A在这n次试验中发生的频率。例：中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为某人一共听了17次“概率统计”课，其中有15次迟到，记A={听课迟到}，则注意：频率反映了事件A发生的频繁程度。()nAfAnn；1n；()151788%nfA()nfA概率论第一章随机事件及概率试验序号n=5n=50n=500nHfn(H)nHfn(H)nHfn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.494表1例：抛硬币出现的正面的频率概率论第一章随机事件及概率实验者nnHfn(H)德·摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069K·皮尔逊1200060190.5016K·皮尔逊24000120120.5005表2概率论第一章随机事件及概率概率论第一章随机事件及概率且随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p。121110()12()13,()()nnkkkniniiifAfSAAAfAfA。。。,,若两两互不相容，则频率的性质()nfA非负性规范性有限可加性概率论第一章随机事件及概率定义1的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p定义2将概率视为测度，且满足：称P(A)为事件A的概率。()nfA10()1PA。2()1PS。12113,()()kkkiiiiAAAPAPA。若,,两两互不相容，则非负性规范性可列可加性概率论第一章随机事件及概率性质1P()=0。11)()()(iiiiAPAPP于是由可列可加性得又由P()≥0得，P()=0证明：设An=(n=1,2,…)，则1iiAjiAAji有,且对于1)(iP概率的性质概率论第一章随机事件及概率性质2(有限可加性)若有限事件A1,A2,…,An是两两不相容的，则概率的性质证明令An+1=An+2=…=，则由可列可加性及P()=0得1111iinjniiniiAPAPAP111)()()(njniiiiPAPAP11()()nniiiiPAPA110)(njniiAPniiAP1)(概率论第一章随机事件及概率性质3对于任一事件A，有概率的性质)(1)(APAPΩAA,AA)AP(P(A))AP(AP)(1即P(A))AP(1证明因为，因此有概率论第一章随机事件及概率概率的性质证明由AB知B=A∪(B-A)，且A(B-A)=，性质4设A，B是两个事件，若AB，则有P(B-A)=P(B)-P(A)因此由概率的有限可加性得P(B)=P(A)+P(B-A)从而有P(B-A)=P(B)-P(A)BA概率论第一章随机事件及概率概率的性质证明因为A-B=A-AB，且ABA推论对于任意两事件A、B，有P(A-B)=P(A)-P(AB)故P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)推论若AB，则P(B)≥P(A)证明由P(B)=P(A)+P(B-A)和P(B-A)≥0知P(B)≥P(A)BAAB概率论第一章随机事件及概率概率的性质性质5对于任意两事件A、B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)上式称为概率的加法公式。证明因为A∪B=A∪(B-AB)，且A(B-AB)=，ABB故P(A∪B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)BA概率论第一章随机事件及概率：推广1111121()()()()(1)()nniiijiijninijknijknPAPAPAAPAAAPAAA概率的加法公式可推广到多个事件的情况。设A、B、C是任意三个事件，则有P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC)一般，对于任意n个事件A1,A2,…,An，有概率论第一章随机事件及概率解(1)由于A与B互不相容，即AB=Ø，则BA所以21/P(B)A)P(B(2)BA则有41/P(A)P(B)A)P(B(3)(AB)BABAB则有83/P(AB)P(B)A)P(B例ABBAAB()1/4,()1/2,(1);(2);(3)1/8,()PAPBABABP(AB)PBA。设试就下述三种情况与互不相容分别求之值概率论第一章随机事件及概率古典概型3定义若试验E满足：1.S中样本点有限(有限性)2.出现每一样本点的概率相等(等可能性)APAS所包含的样本点数中的样本点数称这种试验为等可能概型(或古典概型)。古典概型的定义1.3.1概率论第一章随机事件及概率例1一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从中随机摸一球，记A={摸到红球}，求P(A)。解：S={1,2,…,8}A={1,2,3}38PA概率论第一章随机事件及概率例2从上例的袋中不放回的摸两球，记A={恰是一红一黄}，求P(A)．解：11235815()/53.6%28PACCC（注：当Lm或L0时，记）0LmC例3：有N件产品，其中D件是次品，从中不放回的取n件，记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)。解：()/,0,1,,knknkDNDNPACCCkn概率论第一章随机事件及概率设随机试验的样本空间为又由于基本事件是两两不相容的，于是有所以,,,,21neee由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同，即有)()()(21nePePeP)()()()()()(112121enPePePePeeePPnnnePePePn/1)()()(21古典概率的计算公式1.3.2概率论第一章随机事件及概率12,,,()/kiiiAeeekAPAkn因此,若事件包含了个基本事件,则事件发生的概率定义设古典概型的样本空间中基本事件的总数为n，事件A中包含的基本事件的个数为nA，则事件A发生的概率为称此为古典概率公式。nnAPA/)(古典概型中的事件A的概率P(A)就是A包含的样本数nA与样本空间中的样本点数n的比值。概率论第一章随机事件及概率即样本空间有4个样本点，而随机事件A1包含2个样本点，随机事件A2包含3个样本点，故P(