热传导方程(扩散方程)

从不同的物理模型出发，建立数学物理中三类典型方程根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件提出相应的定解问题第一章数学建模和基本原理介绍§1.1数学模型的建立数学模型建立的一般方法：确定所研究的物理量；建立适当的坐标系；划出研究小单元，根据物理定律和实验资料写出该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，表达为数学式;简化整理，得到方程。2热传导动方程第一节热传导方程的导出和定解条件一、热传导方程的导出：给定一空间内物体，设其上的点在时刻的温度为。模型：问题：研究温度的运动规律。G(,,)xyzt(,,,)uxyzt(,,,)uxyzt分析：（两个物理定律和一个公式）1、热量守恒定律:2、傅里叶（Fourier）热传导定律:温度变化吸收的热量通过边界流入的热量热源放出的热量(,,),udQkxyzdSdtn为热传导系数。(,,)kxyz3、热量公式:Qcmu任取物体内一个由光滑闭曲面所围成的区域，研究物体在该区域内热量变化规律。1Q热传导方程的推导：GS热量守恒定律区域内各点的温度从时刻的温度改变为时刻的温度所吸收（或放出）的热量，应等于从时刻到时刻这段时间内通过曲面流入（或流出）内的热量和热源提供（或吸收）的热量之和。即1t2t1(,,,)uxyzt2(,,,)uxyzt1t2tS内温度变化所需要的热量=通过曲面流入内的热量+热源提供的热量QS2Q下面分别计算这些热量(,,),ccxyz（1）内温度变化所需要的能量QG那么包含点的体积微元的温度从变为所需要的热量为1C21[(,,,)(,,,)]dQcuxyztuxyztdVdV设物体的比热（单位质量的物体温度改变所需要的热量为密度为(,,),xyz(,,)xyz1(,,,)uxyzt2(,,,)uxyzt整个内温度变化所需要的能量Q221121[(,,,)(,,,)]()[](1.1)ttttQdQcuxyztuxyztdVuucdtdVcdVdttt（2）通过曲面进入内的热量1QS由傅里叶热传导定律，从到这段时间内通过进入内的热量为2t1tS211(,,),ttSuQkxyzdSdtn由高斯公式xSdivAdxdydzAndS知211[(()()())].(1.2)ttuuuQkkkdVdtxxyyzz（3）热源提供的热量2Q用表示热源强度，即单位时间内从单位体积内放出的热量，则从到这段时间内内热源所提供的热量为(,,,)Fxyzt2t1t212[(,,,)](1.3)ttQFxyztdVdt由热量守恒定律得：221121[][(()()())][(,,,)]ttttttuuuucdVdtkkkdVdttxxyyzzFxyztdVdt由及的任意性知12,tt()()()(,,,).(1.4)uuuuckkkFxyzttxxyyzz三维无热源热传导方程：22222220.(1.6)uuuuatxyz三维有热源的热传导方程：（均匀且各向同性物体，即都为常数的物体）2222222(,,,),(1.5)uuuuafxyzttxyz2,,kFaffcc其中称为非齐次项（自由项）。,,ck通常称（1.5）为非齐次的热传导方程，而称（1.6）为齐次热传导方程。二、定解条件（初始条件和边界条件）初始条件：(,)(,,),(,,),0:(1.7)uxtxyzxyzGt边界条件：1、第一边界条件（Dirichlet边界条件）特别地：时，物体表面保持恒温。(,,,)0gxyzt(,,,),(,,),0,(1.8)ugxyztxyzt()G2、第二边界条件（Neumann边界条件）(,,,)0gxyzt特别地：时，表示物体绝热。3、第三边界条件(D-N混合边界条件)(,,,),(,,),0,(1.9)ukgxyztxyztn(,,,),(,,),0,(1.10)uugxyztxyztn1110,.kkgukk其中：表示沿边界上的单位外法线方向的方向导数unun注：注意第三边界条件的推导：研究物体与周围介质在物体表面上的热交换问题把一个温度变化规律为的物体放入空气介质中，已知与物体表面接触处的空气介质温度为，它与物体表面的温度并不相同。这给出了第三边界条件的提法。1(,,,)uxyzt(,,,)uxyzt(,,,)uxyzt热传导试验定律或牛顿定律从物体流到介质中的热量和两者的温差成正比：11(),(1.11)dQkuudSdt其中比例常数称为热交换系数10k流过物体表面的流量可以从物质内部（傅里叶定律）和外部介质（牛顿定律）两个方面来确定：11(),ukdSdtkuudSdtn或11().ukkuun(,,)()|(,,,).xyzuugxyztn即得到（1.10）：例长为l的均匀杆，两端有恒定热流进入，其强度为0q，写出这个热传导问题的边界条件。在边界上有：若端点是绝热的，则解：nukq00|qqxuknuknlxlxx=l处：0|0xlxxuxuxq0q0nnkqxux00|x=0处：00)(|qqxuknuknlxxkqxulx0|三、定解问题定义1在区域[0,)G上，由偏微分方程、初始条件和边界条件中的其中之一组成的定解问题称为初边值问题或混合问题。2120,0,0,,0(),0,0,,(),,,(),0,0.txxxuauxltuxxxltuottulthulttth例如三维热传导方程的第一初边值问题为：20(,,)()(,,,),(,,,),0,(,,,)|(,,),(,,,),|(,,,),0.txxyyzztxyzuauuufxyztxyzttuxyztxyzxyztugxyztt始条件组成的定解问题称为初值问题或柯西问题。例如三维热传导方程的初值问题为：定义2在区域3[0,)R上，由偏微分方程和初2330()(,,,),(,,,),0,(,,,)|(,,),(,,,).txxyyzztuauuufxyztxyztRtuxyztxyzxyztR2、上述边界条件形式上与波动方程的边界条件一样，但表示的物理意义不一样；3、热传导方程的初始条件只有一个，而波动方程有两个初始条件。1、热传导方程不仅仅描述热传导现象，也可以刻画分子、气体的扩散等，也称扩散方程；注4、除了三维热传导方程外，物理上，温度的分布在同一个界面上是相同的，可得一维热传导方程：222.(1.12)uuatx而对于薄片的热传导，可得二维热传导方程：22222().(1.13)uuuatxy3拉普拉斯方程当我们研究物理中的各类现象，如振动、热传导、扩散等的稳定过程时，由于表达该物理过程的物理量不随时间变化而变化，因此.u0ut如果我们考虑的是一个稳定的热场，则可以得到不随时间变化而变化的温度所满足的方程：,,,uxyzt2222220,(*)uuuxyz方程(*)称为三维拉普拉斯(Laplace)方程或者调和方程，它通常表示成为或者的形式。0u20u拉普拉斯方程和泊松方程不仅描述稳定状态下温度的分布规律，而且也描述稳定的浓度分布及静电场的电位分布等物理现象。222222,,,()uuufxyzxyz其中,,(,,)/.fxyzFxyxk如果我们考虑有源的稳定热场，则可以得到方程：非齐次方程通常叫做泊松(Poisson)方程，记作,,ufxyz或者2,,.ufxyz()()(,,),(,,),(,,)|(,,),(,,).xxyyzzuuufxyzxyzuxyzxyzxyz(,,),(,,),(,,),(,,).ufxyzxyzuxyzxyzn(,,),(,,),(,,),(,,).ufxyzxyzuuxyzxyzn1、Dilichlet问题。2、Neumann问题。2、Neumann问题。3、第三边值问题。波动方程（双曲型）—声波、电磁波、杆的振动；热传导方程（抛物型）—热传导，物质扩散时的浓度变化规律,土壤力学中的渗透方程;Laplace方程（椭圆型）—稳定的浓度分布,静电场的电位,流体的势。总结：§1.3定解问题的提法初始条件和边界条件通称为定解条件。定解问题是指泛定方程和相应定解条件的结合体。泛定方程和相应初始条件构成的定解问题称为初值问题或者柯西(Cauchy)问题。)()(|)0,(002xxutxuautxxt热传导方程的Cauchy问题)(|)()(|)0,(0002xuxxutxuautttxxtt波方程的Cauchy问题由泛定方程和相应边界条件构成的定解问题称为边值问题。).,(,),(,0yxfuyxuLaplace方程的边值问题由偏微分方程和相应的初始条件及边界条件构成的定解问题称为混合问题。),,,()(),,(),,(0,),,(0)(02tzyxfunuzyxzyxutzyxuuuautzzyyxxt热传导方程的混合问题2220,0;22uuaxlttx,22lll0例设弦的两端固定于x=0和x=l，弦的初始位移如下图，初速度为零，求弦满足的定解问题。解：,02,000,2lxxuutlttlxxl0;0uuxxl一个定解问题的适定性(Well-posedness)包含以下几个方面：1）解的存在性，即所提的定解问题是否有解；3）解的稳定性，即看定解问题的解是否连续依赖定解条件。也就是说，当定解条件有微小变动时，引起解的变动是否足够小。若是，则称解是稳定的，否则称解是不稳定的。2）解的唯一性，即所提的定解问题是否有唯一的解；数理方程的一些基本概念(1)偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程，如22222(,,,,,,,,,,)0uuuuuFxyuxyxyxy其中(,,)uxy是未知多元函数，而,,xy是未知变量；,,uuxy为u的偏导数.有时为了书写方便，通常记22,,,,xyxxuuuuuuxyx(2)方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶．(3)方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数．(4)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程．(5)准线性方程一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．(6)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．5、微分方程的解古典解：如果将某个函数u代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，且方程中出现的偏导数都连续，则这个连续函数就是该偏微分方程的古典解。通解：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数