人教版高一三角函数的定义

初中时学习的锐角α的正弦、余弦、正切是如何定义的？sinbacACB在Rt△ABC中，costancbcaab怎样将锐角的三角函数推广到任意角的三角函数？1.任意角的三角函数：我们规定：）（终边上任一点一般地，对任意角,,PyxOxry),(yxP．，即的正切，记作叫做比值；，即的余弦，记作叫做比值；，即的正弦，记作叫做比值xyxxyrxrxryrytantan)0()3(coscos)2(sinsin)1(一个任意角的三角函数只与这个角的终边位置有关，与点P（x，y）在终边上的位置无关.公式一揭示了三角函数值呈周期性变化，即角的终边绕原点每旋转一周，函数值重复出现.1.三角函数都是以角为自变量，在弧度制中，三角函数的自变量与函数值都是在实数范围内取值.可将求任意角的三角函数值，转化为求0～（或0°～360°)范围内的三角函数值.终边相同的角的同名三角函数值相等2三角函数的定义域是y=sinα,α∈Ry=cosα,α∈R2y=tanα,α≠kπ+（k∈Z）例1已知角α的终边经过点P(4,﹣3)，求角α的正弦、余弦、正切值．变式：已知角α的终边经过点P(4a,－3a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦、正切值．例2.已知角α的终边上一点P(－，y)(其中y≠0)，且sinα=，求cosα和tanα.324y解：sinα=2243yyyry解得y2=5，y=55当y=时，cosα=,tanα=641535当y=－时，cosα=,tanα=64153解：（1）因为当α=0时，x=r，y=0.所以例3.求下列各角三角函数值：（1）0；（2）π；（3）23sin0=0，cos0=1，tan0=0，（2）因为当α=π时，x=－r，y=0.所以sinπ=0，cosπ=－1，tanπ=0，（3）因为当α=时，x=0，y=－r.所以23sin=－1，cos=0，tan不存在232323例4.在直角坐标系中，终边过点(1，)的所有角的集合是.3解：点(1，)在第一象限，且x=1，y=33所以r=2，sinα=，cosα=3221所以满足条件的角α=2kπ+3{α|α=2kπ+，k∈Z}32.三角函数在各象限内的符号角α是“任意角”，由三角函数定义可知，由于P(x,y)点的坐标x,y的正负是随角α所在的象限的变化而不同，所以三角函数的符号应由角α所在的象限确定.正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号：xOysinxOytanxOycos（1）正弦函数值的符号与y的符号相同；余弦函数的符号与x的符号相同；（2）三角函数正值口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．例1.确定下列三角函数值的符号:（1）cos250º;（2）（3）tan(－672º)；（4）)4sin()311tan(解：（1）250º在第三象限，所以cos250º0.(2)－在第四象限，所以sin(－)0.44(3)－672º在第一象限，所以tan(－672º)0.(4)在第四象限，所以tan()0.113113若已知角α的一个三角函数符号，则角α所在的象限有两种可能；若已知角α的两个三角函数符号，则角α所在的象限就惟一确定.例2.设sinθ0且tanθ0，确定θ是第几象限的角。解：因为sinθ0，所以θ可能是第三、四象限的角，又tanθ0，θ可能是第一、三象限的角，综上所述，θ是第三象限的角。例3.若三角形的两内角，满足sincos0，则此三角形必为（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上三种情况都可能B练习1.函数y=++的值域是()(A){－1，1}(B){－1，1，3}(C){－1，3}(D){1，3}|sin|sinxxcos|cos|xx|tan|tanxxCA是第三象限角，且|sin|=－sin,则是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角2A2A2AD2.3.sin2·cos3·tan4的值()(A)大于0(B)小于0(C)等于0(D)不确定B5.若sinθ·cosθ＞0,则θ是第象限的角一、三sin(－π)+cosπ·tan4π－cosπ=.2361371330