在球系中的旋度、散度、梯度的物理求法

第23卷第5期唐山师范学院学报2001年9月Vol.23No.5JournalofTangshanTeachersCollegeSep.2001──────────收稿日期：2001-06-12作者简介：田广志（1957-），男，河北省遵化市人，唐山师范学院物理系副教授。-52-在球系中的u、A、A的物理求法田广志1王继仓2(1.唐山师范学院物理系，河北唐山063000；2.丰南市黄各庄中学，河北丰南063300)摘要：据梯度、散度、旋度的定义，用物理的方法给出了在球坐标系中的表达式；此方法也可以推广到其它的正交曲面坐标系中。关键词：球面坐标系；梯度；散度；旋度中图分类号：0411文献标识码：A文章编号：1009-9115（2001）05-0052-03在物理学中求解方程时经常用到u、A、A的表达式，尤其是在球坐标系中使用频率很高，它们的表达式又很复杂。物理教材中经常做出“请见有关的高等数学”这样的处理，而一般的高等数学书又往往因涉及坐标变换运算繁琐，只给出结果而略去了计算过程；有的文章用张量的方法推导出一般的公式，用的是纯数学的方法；本文拟从梯度、散度、旋度的定义出发，从物理意义上给出它们的计算方法。1标量场u的梯度u在球坐标系中点的位置用（r、、）表示，数量场u是（r、、）的函数u（r、、）。据梯度的定义u的梯度在r、、（分别表示r、、增加方向的单位矢量）方向的分量为在三个方向空间位置变化一个单位时，u的变化量，即u的梯度在r、、三方向的分量为u在三个方向的变化率。设P'（dddrr、、）是与P（r、、）非常临近的点，即dddr、、都非常小。则PP'drrrdrsind（1）上式表示，当坐标变化（dddr、、）时，r方向空间位置变化dr，方向空间位置变化rd，方向变化dsinr，则在三个方向变化一个单位时u的变化分别为usinr1ur1ru、、。所以u的梯度为u1u1uurrrrsin（2）2矢量场A（r、、）的散度A在球坐标系中A（r、、）＝rArAA。据散度的定义，空间M点的散度为A＝SVMAdSdivA(M)Vlim（其中V是包围M的曲面S所围的体积），它的物理意义是在单位体积中矢量A的发散量。如图1在球面坐标系中取一体元，体积为ddrdsinrdV2。下面RzxyoSVWTQPMdd图1田广志王继仓：在球系中的u、A、A物理求法-53-我们计算在此体元中A的发散量。通过MPQR的通量为它的面积乘以Ar|r，通过STWV的通量也为它的面积乘以Ar|r+dr，则在r方向的发散量为22rrdrrr2r(Arsin)|dd(Arsin)|dd(rsinA)drddr同理沿方向的发散量为d(Arsin)|drd(Arsin)|drd(rsinA)drdd沿方向的发散量为d(Ar)|ddr(Ar)|ddr(rA)drdd把三个方向的发散量加到一起，再除以dV即为A（r、、）在M点的散度。2r22r21A[(rsinA)rsindrddr(rsinA)(rA)]drdd11(rA)(sinA)rrrsinA1(3)rsin3矢量场A（r、、）的旋度A在球系中令rA(r)ArAA、、。据旋度的定义，空间点M在S法向上的旋度为：lnnSMAdl(A)rotA(M)Slim（其中S为l所围，n为S的法向）。即在n方向的旋度为沿l的环流量除以面积。据此我们可以分别求出三个方向的旋度，而A是三个方向旋度的矢量和。先计算沿r方向的旋度，沿图1中MPQR的环流量，应为ddAMPAPQAQRARM(Ar)|d(Ar)|d(Arsin)|d(Arsin)|d[(rsinA)(rA)]ddMPQR的面积为ddsinr2，所以r2[A]/[(rsinA)(rA)]dd/rsinddA11(sinA)(4)rsinrsin环流量面积同样可以计算沿方向的旋度，计算环流量应沿MRVS方向进行：rrdrrdrr(rsinA)|d(rsinA)|dA|drA|drAdrd(rsinA)drdrMRVS的面积为drdsinr，所以rrA[A][drd(rsinA)drd]/rsindrdrA11(rA)(5)rsinrr而方向的旋度，计算环流量应沿MSTP方向进行：drdAdrd)Ar(rd|)Ar(d|)Ar(dr|Adr|ArrdrrdrrMSTP的面积为rdrd，所以rrA[A][(rA)drddrd]/rdrdrA11(rA)(6)rrr（4）、（5）、（6）三式的矢量和即矢量A的旋度为rrA1A[(sinA)]rrsinA11[(rA)]rsinrA1[(rA)](7)rr以上讨论了在球坐标系中梯度、散度、旋度的物理求法，实际上在球系中“”的二阶算符也可用上述结果很容易求出。例如u2，它只不过是u第23卷第5期唐山师范学院学报2001年第5期-54-这个标量函数的梯度的散度，若在（3）式中令rruA(u)r、1uA(u)r、1uA(u)rsin，立即可得出：222222221u1uu(r)(sin)rrrrsin1u(8)rsin参考文献：[1]四川大学数学系高等数学教研室.高等数学(第三版、第二册)[M].高教出版社,1996.[2]梁昆淼.数学物理方法(第三版)[M].高等教育出版社,1998,6.[3]田晓岑,张萍.球坐标系和柱坐标系f),gf(),gf(,f2的运算公式[J].大学物理,2001,(2).[4]张春雷,杨瑞雪.正交曲线坐标系中加速度的矢量求法[J].大学物理,2000,(7).PhysicalSolutionsofu、A、AinSphereGroupTIANGuang-zhi1WANGJi-cang2(1.PhysicsDepartment,TangshanTeachersCollege,HebeiTangshan063000;2.HuanggezhuangMiddleSchoolofFengnan,HebeiFengnan063300)Abstract:Accordingtothedefinitionsofgrads,divergenceandrotation,theexpressioninsphericalcoordinatesystemisgivenfromthepointofphysics.Thisexpressioncanalsobeextendedtoothernormalsurfacecoordinatesystems.KeyWords:sphericalcoordinatesystem;grads;divergence;rotation责任编辑、校对：孙海祥