控制工程基础第二章——数学模型

现代教育学家认为：在教学过程中，占中心地位的应该是“学”而不是教，主张在教师指导下，由学生自己去“发现”规律、自己去“研究”问题。教师的主要任务在于启发而不在于讲解，教方法、教思路比一般地教知识、教内容更重要。学生的主要任务在于思考，而不是单纯的记忆，强调理解比单纯记忆更重要。可以预言，未来的“文盲”将不再是目不识丁的人，而是一些没有学会学习方法、不会自己钻研问题和没有预见能力、分析能力的人。控制工程基础学习是基础，思考是关键，实践是根本。武汉理工大学机电工程学院黄安贻[e-mail]控制工程基础——数学模型数学模型：描述系统动态特性的数学表达式，称为系统的数学模型，它揭示了系统结构及其参数与系统性能之间的内在关系。作用：数学模型是设计和分析控制系统的依据。显然，建立正确、合理的系统的数学模型是关键性的步骤。数学模型可分为两大类：外部模型和内部模型。外部模型也称为输入—输出模型。它着眼于系统激励与响应的关系，并不涉及系统内部变量的情况。因而，这种方法对于单输入、单输出系统较为方便。一般而言，描述线性时不变系统的输入—输出关系，对连续系统是用常系数线性微分方程来描述，对离散系统是用常系数线性差分方程来描述。内部模型也称为状态变量描述法。它不仅可以给出系统的响应，还可提供系统内部各变量的情况，特别适用于多输入、多输出系统。用这种方法建立的数学式为一阶微分方程组形式，便于计算机求解。状态变量分析法还适用于时变系统和非线性系统，已成为系统理论与现代控制工程的基础。建模基本方法：解析法和实验法。数学模型的形式微分方程（组）传递函数（阵）频率特性L变换L反变换s=jω时间响应变量状态图方框图，信号流图Nyquist图，Bode图等现代控制理论2.1系统运动微分方程的建立（1）明确输入、输出；分析信号传递、变换过程；（2）从输入端开始，按信息传递、变换过程列写各变量之间的数学关系式；注意：因果关系和负载效应；（3）如有必要，对非线性表达式进行线性化处理；（4）消去中间变量，得到输出——输入关系式；（5）整理成规范形式。二步骤：一依据：反映系统内在运动规律的物理学定律和各专业理论☆举例1：机械平移动力学系统在输入fi(t)力的作用下，质量块m将有加速度，从而产生速度和位移。质量块的速度、位移使阻尼器和弹簧产生粘性阻尼力fc(t)和弹性力fk(t)。这两个力反作用于质量块，影响输入fi(t)的作用效果，从而使质量块的速度和位移发生变化，产生动态过程。弹簧和质量在静止平衡时的那一点为系统的平衡工作点。这样的坐标系原点选择消除了重力的影响。设系统的输入量为外作用力fi(t)，输出量为质量块的位移xo(t)，现研究外力fi(t)与位移xo(t)之间的关系。三举例☆机械平移动力学系统的模型)()()()(2txdtdmtftftfokci)()(txdtdctfoc)()(tkxtfok)()()()(22tftkxtxdtdctxdtdmiooo方块图描述了系统中信号转换、传递的过程，给出了系统的工作原理。系统的数学模型可用方块图表示：根据牛顿第二定律，应有由阻尼器、弹簧的特性，可写出消去中间变量，写成规范形式此式为二阶常系数线性微分方程。☆举例2：电网络系统设输入端电压ui(t)为系统输入量。电容器c两端电压uo(t)为系统输出量。现研究输入电压ui(t)和输出电压uo(t)之间的关系。电路中的电流i(t)为中间变量。根据电压方程，可写出消去中间变量i(t)，稍加整理，即得上式为二阶常系数线性微分方程。该系统也可用方块图表示。dttiCtuo)(1)()()()()(22tututudtdRCtudtdLCiooo)()()()(tututidtdLtRioi☆小结：⑴⑵⑴物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型。这样的系统称为相似系统。在相似系统的方程中，处于相同位置的物理量称为相似量。从动态性能来看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似，若方程系数等值则响应完全一样。这样就可以用电系统来模拟其它系统，进行实验研究。这就是控制理论中的功能模拟方法的基础。⑵同一数学模型可以描述物理性质完全不同的系统。因此，从控制理论来说，可抛开系统的物理属性，用同一方法进行普遍意义的分析研究，这就是信息方法，从信息在系统中传递、转换的方面来研究系统的功能。四小结☆小结：⑶⑷⑶在通常情况下，元件或系统的微分方程的阶次，等于元件或系统中所包含的**储能元的个数。惯性质量、弹性要素、电感和电容都是储能元件。每当系统中增加一个储能元时，其内部就增多一层能量交换，即增多一层信息的交换，描述系统的微分方程将增高一阶。⑷描述系统运动的微分方程的系数都是系统的结构参数及其组合，这就说明系统的动态特性是系统的固有特性，取决于系统结构及其参数。五系统运动微分方程的一般形式特征方程的根称为特征根，他们是系统系数的组合。N阶系统有n个特征根。特征根只能是0、实数、复数（必共扼成对出现）。系统特征根决定了系统的性能!注意：根据运动微分方程可以判断系统的类型。)()()()(0.1)1(1)(tyatyatyatyannnn)()()()(01)1(1)(trbtrbtrbtrbmmmmmn),,2,1,0(niai),,2,1,0(m**j0)()()()(0.1)1(1)(tyatyatyatyannnn00111aaaannnn设y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则有是由系统结构和参数决定的常数。齐次方程为特征方程为六建立动态方程时应注意的问题⑴变量形式的选取问题系统在某一平衡点工作，变量偏离平衡点的偏离量很小，一般只研究系统在平衡点附近的动态特性。因此，总是选择平衡工作点作为坐标系原点，变量采用增量形式。其优点是系统的初始条件为零，便于求解方程，便于非线性方程进行线性化处理。⑵负载效应问题由于后一环节的存在，前一环节的输出受到影响，有如加上了一个负载对前一环节产生影响，这种影响称为负载效应。例如，无源网络输入阻抗对前级的影响，齿轮系对电机转动惯量的影响等。实际物理元件和系统都是非线性的。非线性特性分为本质非线性和非本质非线性。如继电器特性、死区、不灵敏区、滞环、传动间隙等都是本质非线性。在一定条件下，为了简化数学模型，可以忽略它们的影响，将它们视为线性元件。对于具有连续变化的非线性特性，可以采用切线法或小偏差法进行线性化处理。所谓线性化就是在一定范围内，用线性方程代替非线性方程的近似处理过程。从几何上看，所谓线性化就是用直线代替曲线。数学处理方法就是将曲线方程在平衡点处取泰勒级数一次近似式。⑶非线性模型的线性化问题七线性系统的叠加原理(PrincipleofSuperposition)线性系统的线性性质：均匀性、叠加性用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统；如果方程的系数不是常数，而是时间的函数，则称为线性时变系统。线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。叠加原理有两重含义：均匀性（齐次性）和可叠加性。这个原理是说，多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入单独作用时分别产生的响应之和，且输入增大若干倍时，其输出亦增大同样的倍数。系统对输入信号的微分和积分的响应等于系统对输入信号的响应的微分和积分。2.2拉普拉斯变换(LaplaceTransformation)建立描述系统动态性能的运动微分方程之后，给定输入，解这个方程，得到它的全解，即可知道系统的输出响应，从而知道系统在给定输入作用下的运动规律，即性能。问题在于，用一般微分方程理论求解高阶微分方程是相当困难的。人类的思路就是变换研究领域，借助其他方法。拉普拉斯变换是一种数学工具，它可将时域中的微积分运算转化为复数域中的代数运算。一拉氏变换的定义jsdtetfsFtfLst0)()()]([拉氏变换的实质时间函数复变量s的复变函数拉氏变换的定义二典型函数的拉氏变换tettttedteeedtd1;)(sAdteeAAeLsttt0][)0(,)(tAtfsAdteAALst0][st1)(1指数函数工程中极其重要的函数！有如下性质指数函数的拉氏变换拉氏变换是线性变换它的微分、积分与其自身成比例阶跃函数☆斜坡函数和加速度函数)0(,)(tAttf20}[sAdtetAAtLst21st)0(,21)(2tAttf302221]21[sAdtetAAtLst32121st斜坡函数——阶跃函数的积分！加速度函数（速度函数的积分）复数域中为乘1/s，或说除以s时域中的积分运算☆欧拉公式和谐波函数的拉氏变换2222)(21cos)(21sinsseetseejttjtjtjtj谐波函数的拉氏变换欧拉公式三拉氏变换性质定理⑴)()()()(2121sBXsAXtBxtAx)()(.ssXtx)()()(sXstxnn)(1)(sXsdttx)(1)(sXsdttxnn)(tf)(tf注意：时，函数t0)(tf⒈线性定理⒉微分定理和积分定理（在所有初始条件均为零时）⒊延迟定理①平移函数、延迟函数对于函数函数称为延迟函数，函数本身并不发生改变，只是延迟α时间才发生。②延迟定理)()(sFtf若)()(sFetfs则有se延迟函数的拉氏变换原函数的拉氏变换乘以例：求脉动函数和脉冲函数的拉氏变换①脉动函数)0(),(1)(00ttttAtf它是正负阶跃函数的叠加：)(1)(1)(000tttAttAtf)1()11()]([0000ststestAsestAtfL脉动函数的拉氏变换：☆脉冲函数及其拉氏变换②脉冲函数：脉动函数的极限，t0看作变量。000lim)(tAtftTAsAsstdtdeAdtdestAtfLsttsttT)()]1([lim)1(lim)]([0000000000定义：显然)0)(,0(,1)(ttdtt单位脉冲（Dirac）面积为1的脉冲函数AtAt)(,1)(结论：脉冲函数是面积函数；脉冲函数的拉氏变换就是脉冲下的面积。换言之，复数域中的实数在时域里是脉冲函数。☆关于单位脉冲函数的说明⑷单位脉冲函数是人为定义的广义函数，是一种数学分析工具；它的引入解决了不连续函数间断点处求导数的问题。单位脉冲函数就是单位阶跃函数在不连续点（t=0）处的导数！1)(dtt1)]([tLAtAL)]([)()(1);()(100ttttdtdttdtd)()()();0()()(0000tfdttttffdtttf⑴单位脉冲函数定义为：⑵单位脉冲函数是面积函数，它的面积为1；⑶采样性质：时域里的脉冲复数域中的常数三拉氏变换性质定理⑵)()(sXtx)()(sXetxttetx)(22cossst22)(cossstet⒋位移定理设则有的拉氏变换，有以（s+α）去替换s的效果。可按拉氏变换定义证明之。举例如则三拉氏变换性质定理⑶初值定理表明时间函数在原点的性质与sF（s）在复数域无穷远处的性质一致；终值定理则表明，时间函数在时间无穷远点的性质与sF（s）在复数域原点处的性质一致。即建立了时间函数在无穷远点（原点）与复变函数sX（s）在坐标原点（无穷远点）的值之间的关系。)(lim);(lim0txtxtt)()(sXtx)(lim)(0ssXxs⒌初值定理和终值定理若存在，且有则有)(lim)0(ssXxs)]0()([lim)(lim000xssXdtetxss