周益春-材料固体力学习题解答习题三

-1---第三章弹性本构关系和弹性问题的求解习题习题1、试利用各向异性理想弹性体的广义虎克定律导出：在什么条件下，理想弹性体中的主应力方向和主应变方向相重合？解：各向异性理想弹性体的广义虎克定律为：zxyzxyzzyyxxzxzxyzxyzzyyxxyzzxyzxyzzyyxxxyzxyzxyzzyyxxzzzxyzxyzzyyxxyyzxyzxyzzyyxxxxcccccccccccccccccccccccccccccccccccc666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211（a）当0zxyzxy时，三个互相垂直的应力方向为主应力方向。当0zxyzxy时，三个互相垂直的应变方向为主应变方向。在主应变方向上，剪应力分量为：zzyyxxzxzzyyxxyzzzyyxxxyccccccccc636261535251434241（b）若使0zxyzxy，则式中xx，yy，zz具有非零解的条件为0636261535251434241ccccccccc（c）上式即为x，y，z轴同时为应力主轴和应变主轴的条件。如果材料性能对称于一个平面，如Oxy平面，则04645363526251615cccccccc，而且jiijcc，此时（c）式恒等于零。在此情况下，当存在以x，y，z轴为主方向的应变状态时，其对应的剪应力分量将成为00434241zxyzzzyyxxxyccc（d）若应变分量之间满足0434241zzyyxxxyccc，则此点的应变主方向和应力主方向重合。如果材料性能对称于Oxy，Oyz，Ozx三个平面，则有056342414cccc，此时（d）式总是满足的。由此可知，当x，y，z轴为应变的主方向时，也必定为应力的主方向。但是，当应变主方向和正交轴不重合时，一般它与应力的主方向是不重合的。对于各向同性弹性体，不需要任何补充条件，应力主方向和应变主方向总是重合的。习题2、对于各向同性弹性体，试导出正应力之差和正应变之差的关系式。且进一步证明：当其主应力的大小顺序为321时，其主应变的排列顺序为321。-2-解：各向同性条件下的广义虎克定律为)3___(1)2___(1)1___(1yyxxzzzzzzxxyyyyzzyyxxxxEEE将上式中的（1）－（2），（2）－（3），（3）－（1）分别得：xxzzxxzzzzyyzzyyyyxxyyxxEEE111即xxzzxxzzxxzzzzyyzzyyzzyyyyxxyyxxyyxxGEGEGE212121证明：当其主应力的大小顺序为321时，其主应变的排列顺序为321。0G且321，利用上述正应力之差和正应变之差的关系式有321。习题3、将某一小的物体放入高压容器内，在静水压力2/45.0mmNp作用下，测得体积应变5106.3e，若泊松比v=0.3，试求该物体的弹性模量E。解：设kkzzyyxx为第一应力不变量，而pzzyyxx，pammNpzzyyxx621035.1/35.13据各向同性条件下的广义虎克定律为有：Ee21，其中体积应变5106.3zzyyxxe，故有2421065/105.1/105.11035.1106.33.02121mmNmNeE。习题4、在各向同性柱状弹性体的轴向施加均匀压力p，且横向变形完全被限制住（如图所示）。试求应力与应变的比值（称为名义杨氏模量，以cE表示）。解：设柱体的轴线z轴，pzz。因为横向变形被限制，所以0yyxx。据各向同性条件下的广义虎克定律-3-yyxxzzzzzzxxyyyyzzyyxxxxEEE10101得：zzyyxx，zzxxyy，将此两式相减得：xxyyyyxx，而泊松比v的理论取值范围为2/11v，故1zzyyxx，将其代入广义虎克定律得：121212zzzzxxzzzzEE从而2111EEzzzzc，得解。习题5、在某点测得正应变的同时，也测得与它成60。和90。方向上的正应变，其值分别为6010100，6601050，69010150，试求该点的主应变、最大剪应变和主应力（25/101.2mmNE，3.0）。解：设该点的x，y轴向的正应变分别为x，y，剪应变为xy。任意方向（为与x轴正向的夹角）上的正应变为：2sin22cos22xyyxyx，所以220yxyx，0060120sin2120cos22xyyxyx，2290yxyx，解由此三式组成的方程组得该点的x，y和xy分别为：6906010150,10100yx,66090010350343xy。（1）计算该点的主应变：图3-1-4-由x、y、xy和2221222xyyxyx得该点的主应变为：max611029.157，min621029.107。（2）该点的最大剪应变621max1058.264。（3）计算该点的主应力：现611029.157、621029.107、03，据向同性条件下的广义虎克定律得εIσGe2，即ijijkkijEeE1211，所以11111211EeEkk22221211EeEkk33331211EeEkk将611029.157、621029.107、03、63211050kke及25/101.2mmNE、3.0代入上面三式得：21/46.31mmN,22/27.11mmN,23/06.6mmN。习题6、根据弹性应变能理论的应变能公式ijijW21，导出材料力学中杆件拉伸、弯曲及圆轴扭转的应变能公式分别为：dxdxduEAdxEAxNUll20022121拉伸dxdxdEIdxEIxMUll0222022121弯曲dzdzdGIdzGIzMUlPlP20022121扭转。解：（1）杆件拉伸的应变能公式推导：设杆件横截面积为A，弹性模量为E，如图建立坐标系。杆件为单向拉伸，只存在轴向的伸长或缩短，轴向纤维间无剪切变形，即0zxyzxy。-5-同时轴向纤维间无相互作用力，即0zzyy。据弹性应变能理论的应变能公式xxxxijijW2121（其余分量产生的应变能为零）。现在杆件上x处取一微段dx，其体积为AdxdV，其应变能dUAdxWdVdUxxxx21,而EAxNEAxNxxxxxx)()(，dxEAxNAdxEAxNAxNdU)(21)()(212整个杆件的拉伸应变能为：dxEAxNdUUlL002)(21拉伸而dxduEEdxduxxxxxx,，故dxdxduEAAdxdxduEdxduAdxWdVdUxxxx2212121整个杆件的拉伸应变能为：dxEAxNdxdxduEAdUUlll02002)(2121拉伸（2）杆件弯曲的应变能公式的推导：在材料力学中杆件在)(xM外力作用下发生纯弯曲，仅轴向纤维发生拉伸或压缩变形（其中中性层以内的纤维层受压缩，中兴层以外的纤维层伸长），而轴向纤维之间无相互作用的内力，即0zxyzxy和0zzyy。在杆件上沿轴向去取一微段dx，在此微段的横截面上取一个微面dA，在dA上的应力可为相同的xx，而EIyxMEIyxMxxxxxx)(,)(。222)(212121yEIxMWxxxxijij，WdydzdxWdAdxWdVdU。O图3-2-6-故dxdzdyyEIxMWdVdUUlbbhhll0222222200)(21弯曲，其中)(xM只与x有关。dxEIxMIdxEIxMdxdydzyEIxMUllbbhhl0202222222022)(21)(21)(21弯曲。杆件弯曲的挠度为，挠度曲线的曲率为EIxMdxddsd)(122dxdxdEIdxEIEIdxddxEIxMUlll20220222022121)(21弯曲（3）圆轴扭转的变形能公式推导：设圆轴的轴向为z轴。在材料力学中，圆轴扭转变形后，其横截面仍为平面，半径仍为直线，且沿z轴相邻两截面的距离不变，故有0zxyzzzyyxx，xyxyxyxyyxyxxyxyijijW21212121。在圆轴轴向z处取一微段dz，在微段dz的横截面（圆截面）上的半径处取一微面积dA，dA上的应力可为相同的，那么WdAdzWdVdU。据平衡方程有：dAGdAzMAA)(而dzdGGdzdRxy,，故dAdzdGzMA2)(，令dAIAp2。PPGIzMdzddzdGIzM)()(，而PPGIzMIzM)()(，故dzdAGIzMdzdAWdVdUUVPVVV222)(2121扭转，)(zM只与z有关，dzGIdzdGIdzGIzMdzIGIzMdzdAGIzMUlPPlPPlPAlP0202022202221)(21)(21)(21扭转，即dzdzdGIdzGIzMUlPlP20022121扭转。习题7、试推导体积变形应变能密度vW及畸变应变能密度fW的公式分别为：-7-解：应变张量可分为球形应变张量和应变偏量张量之和：'εIεll31，即'31ijijllij。其中球形应变张量表示体积变形（体积的等向收缩或膨胀），不产生形状畸变，它由球形应力张量所引起，仅产生体积变形应变能；而应变偏量张量表示形状畸变，不产生体积变形，它由应力偏量张量所引起，仅产生畸变应变能。应力张量可分为球形应力张量和应力偏量张量之和：SIσkk31，即',31ijijijijkkijSS令，'31ijijkkij变形应变能密度W分为体积变形应变能密度vW与畸变应变能