概率论第五章

Ch5大数定律与中心极限定理依概率收敛设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若0,使得1}|{|limXXPnn则称{Xn}依概率收敛于X.可记为.XXPn大数定律.}{1}|)(11{|lim.1}|)(11{|lim,011服从大数定律则称即即对任意的nnkknkknnnnXXEnXnPYEnYnPnkknXY1,令设{Xn}为随机变量序列，,)(1)(111nkknPnXEnYEnYn若有几个常用的大数定律1.切比雪夫大数定律设{Xn}为独立随机变量序列，若E(Xk)，D(Xk)C，C为正数,k=1,2,…,(称{Xn}为方差一致有界),则{Xn}服从大数定律。即.)(1)(11111nkknPnkknXEnYEnXnYn推论若{Xn}为独立同分布随机变量序列，且E(Xk)=,D(Xk)=，k=1,2,…则{Xn}服从大数定律。2nkkPnkkXEnXn11)(11即推论若{Xn}为独立随机变量序列,满足马尔可夫条件,0)1(limnnYnD则{Xn}服从大数定律。2.伯努里大数定律设{Xn}为独立随机变量序列,且Xk~B(1,p),0p1,k=1,2,…则{Xn}服从大数定律。nkkPnkkXEnXn11)(11即pnnPA即3.辛钦大数定律若{Xn}为独立同分布随机变量序列,且E(Xk)=,k=1,2,…则{Xn}服从大数定律。nkkPnkkXEnXn11)(11即大数定律说的是：对于随机变量序列{Xn}，只要它满足一定的条件，即有)(1)(11111nkknPnkknXEnYEnXnYn大数定律可以用来说明频率的稳定性。依分布收敛设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x),F(x).若在F(x)的连续点，有),()(limxFxFnn则称{Xn}依分布收敛于X.可记为.XXLn中心极限定理定义若,*1nnnnnknkknYDYEYYBEXXZ)1,0(~*NYLn设{Xn}为相互独立的随机变量序列，且具有有限的数学期望和方差，E(Xn),D(Xn)0,记)1(nnknknnkknDYDXBXY121,则称{Xn}满足中心极限定理。中心极限定理.}{),1,0(~..,1满足中心极限定理则称的标准化若现令nnkLnnknXNYvrYXY)()(nnnnYDYEYY)()(111nkknkknkkXDXEX几个常用的中心极限定理1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg)设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若E(Xk)=，D(Xk)=，k=1,2,…,则{Xn}满足中心极限定理。22.李雅普诺夫中心极限定理(Liapunov).}{),(,0||1,0.,...,2,1,,)(}{X1221222n满足中心极限定理则使得若存在记若为独立随机变量序列，设nnkkknnkknkkkkXnXEBBkDXXE3.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理(DeMoivre-Laplace)设随机变量Yn(n=1,2,...)服从参数为n,p(0p1)的二项分布，则).1,0(~NYLn对于独立同分布r.v.序列{Xn}，大数定律给出了前n项算术平均值所遵循的规律;而中心极限定理则在n充分大时,给出了{Xn}前n项之和落在某区间(a,b]的近似概率，事实上).()(}{nnannbbYaPn